解:关于x的方程2x^2-(根号3+1)x+m=0的两根为 sin θ,cos θ
则 sinθ+cosθ=(√3+1)/2…………(1)
sinθcosθ=m/2………………(2)
(1)sin^2 θ/(sin θ-cos θ) + cos θ/(1-tan θ)
=sin^2 θ/(sin θ-cos θ) - cos^2 θ/(sinθ-cosθ)
=(sin^2 θ-cos^2 θ)/(sin θ-cos θ)
=(sin θ-cos θ)(sin θ+cos θ)/(sin θ-cos θ)
=sin θ+cos θ= (√3+1)/2
(2)将(1)式两边平方得到:
sin^2 θ+cos^2 θ +2sinθcosθ=(1/4)(3+2√3+1)
1+2sinθcosθ=1 + √3/2,
求得 sinθcosθ=√3/4, 根据(2)式 sinθcosθ=m/2
解得 m=√3/2
(3)已经求得 m=√3/2, 方程就变成:2x^2-(√3+1)x+(√3/2)=0
分解为:[2x-1][x-(√3/2)]=0
解得:x1=1/2,x2=√3/2,就是方程两个根。
在 θ∈(0,2π) 的前提下,
如果 sinθ=1/2,则cosθ=√3/2,可得 θ=π/6
如果 sinθ=√3/2,则cosθ=1/2,可得 θ=π/3 。
参考资料:爱问知识人