条件数的举例

如题所述

比如线性方程组
〔1 2 [x = [4 　3.999 1] y] 7.999] 　的解是(x,y)=(2,1), 　而 　〔1 2 [x = [4.001 　3.999 1] y] 7.998] 　的解是(x,y)=(-3.999,4.000)
可见b很小的扰动就引起了x很大的变化，这就是A矩阵条件数大的表现。一个极端的例子，当A奇异时，条件数为无穷，这时即使不改变b，x也可以改变。奇异的本质原因在于矩阵有0特征值，x在对应特征向量的方向上运动不改变Ax的值。如果一个特征值比其它特征值在数量级上小很多，x在对应特征向量方向上很大的移动才能产生b微小的变化，这就解释了为什么这个矩阵为什么会有大的条件数，事实上，正规阵在二范数下的条件数就可以表示成 abs(最大特征值/最小特征值)。