∫ x/√(x² + 2x + 3) dx
= ∫ x/√[(x + 1)² + 2] dx
令x + 1 = √2 tanz，dx = √2 sec²z dz。则可以得到：
= ∫ (√2 tanz - 1)/√(2tan²z + 2) * (√2 sec²z) dz
= ∫ (√2 tanz - 1)/(√2 secz) * (√2 sec²z) dz
= ∫ (√2 tanz - 1) secz dz
= √2 ∫ secz tanz dz - ∫ secz dz
= √2 secz - ln|secz + tanz| + C
= √2 * √(x² + 2x + 3)/√2 - ln|√(x² + 2x + 3)/√2 + (x + 1)/√2| + C
= √(x² + 2x + 3) - ln|x + 1 + √(x² + 2x + 3)| + C。
扩展资料：
不定积分求法：
1、积分公式法。直接利用积分公式求出不定积分。
2、换元积分法。换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。
（1）第一类换元法（即凑微分法）。通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。
（2）第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。
3、分部积分法。设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vdu
两边积分，得分部积分公式∫udv=uv-∫vdu。
常用不定积分公式
1、∫x^ndx=[1/(n+1)]x^（n+1）+C。
2、∫a^xdx=a^x/lna+C。
3、∫sinxdx=-cosx+C。
4、∫cosxdx=sinx+C。
参考资料来源：百度百科-不定积分
给了你方法，请自己验算一下，我对着电脑边做边录，不能保证结果无误。
= (1/2)∫ (2x + 2 - 2)/√(x² + 2x + 3) dx
= (1/2)∫ (2x + 2)/√(x² + 2x + 3) dx - ∫ 1/√(x² + 2x + 3) dx
= (1/2)∫ d(x² + 2x + 3)/√(x² + 2x + 3) - ∫ 1/√[(x + 1)² + 2] d(x + 1)
= (1/2) * 2√(x² + 2x + 3) - ln|(x + 1) + √(x² + 2x + 3)| + C
= √(x² + 2x + 3) - ln|x + 1 + √(x² + 2x + 3)| + C
其中用了两条积分表公式：
1st：∫ dy/√y = 2√y + C
2nd：∫ dy/√(a² + y²) = ln|y + √(a² + y²)| + C
＝[2(x+1)-(x+2)]/√(x+1)(x+2)
＝2√[(x+1)/(x+2)－√[(x+2)/(x+1)]
到这一步，小姑娘你应该没问题了吧？
要是还不行，请追问
