追及问题(高中)

匀速追匀加速、匀减速追匀速、匀加速追匀减速，追的过程中的最大距离、最小距离、追得上、追不上……能详细讲讲吗？

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追及问题的解题研究
追及问题是运动学中比较常见的一类问题，此类问题的综合性强，往往涉及两个或两个以上物体的运动过程，每个物体的运动规律又不尽相同.追及问题的解题方法较多，题目常常可以一题多解，从而培养考生的思维能力和解题能力.
本文选自《试题调研》2012版第1辑，更多精彩内容，可通过“当当网”及当地书店购买阅读。
一、追及问题的特点分析

1
．追上与追不上的临界条件
两物体（追与被追）的速度相等常是追上、追不上及两者距离有极值的临界条件．
2
．常见的两类追及形式
(1)速度大者减速(如匀减速直线运动)追速度小者(如匀速运动)
①两者速度相等时，若追者位移仍小于被追者位移与初始两者间距之和，则永远追不上，此时两者间距最小．
②两者速度相等时，若追者位移恰等于被追者位移与初始两者间距之和，则刚好追上，也是两者避免碰撞的临界条件．
③若相遇时追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还能再一次与追者相遇，两者速度相等时，两者间距离有一个较大值．
(2)速度小者加速(如初速度为零的匀加速直线运动)追速度大者(如匀速运动)
①一定能追上，当两者速度相等时两者间有最大距离．
②当追者位移等于被追者位移与初始两者间距之和时，后者追上前者即相遇．
二、追及问题的解题思路及方法

1.
物理分析法
分析追及问题，其实质就是分析两物体在相同时间内是否到达同一位置.追及问题的求解一般要涉及两物体的不同运动性质，以及两物体之间的运动关系.所以，在分析追及问题时，要紧抓“一个图三个关系式”，即过程示意图，速度关系式、时间关系式和位移关系式.同时在分析追及问题时，要注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等．解决追及问题的思路如下：
分析两物体的运动情况
→画出过程示意图→抓住两者速度关系→由时间和位移关系列方程
调研1
a
、b两列火车在同一轨道上同向行驶，a车在前，其速度v
a
＝10
m/s，b车在后，其速度v
b
＝30
m/s.因大雾能见度低，b车在距a车700
m时才发现前方有a车，这时b车立即刹车，但要经过1
800
m
b车才能停止．问a车若按原速度前进，两车是否会相撞？说明理由．
【分析】
根据两车的运动性质画出它们的运动过程示意图（一个草图），如图所示
由题意可知，两车不相撞的速度临界条件是b车减速到与a车速度相等（速度关系）.
a
b
=v
b
2
/(2x)=0.25m/s
2
b车减速至v
a
＝10
m/s的时间t＝80
s
在这段时间（时间关系）内a车的位移为：x
a
＝v
a
t＝800
m
则在这段时间内b车的位移为：x
b
＝v
b
t-a
b
t
2
/2＝1
600
m
两车的位移关系：x
b
＝1
600m>x
a
+x
0
＝1
500
m，所以a、b两车在速度相同之前已经相撞．
2.
数学方法
应用数学知识处理物理问题的能力，是高考重点考查的五种能力之一.所谓数学方法就是对物理问题的分析和处理运用数学关系式来解决，在追及问题中常用的数学方法有不等式、二次函数的极值、一元二次方程的判别式等.
调研2

甲、乙两车相距s，同时同向运动，乙在前面做加速度为a
1
，初速度为零的匀加速运动，甲在后面做加速度为a
2
，初速度为v
0
的匀加速运动，试讨论两车在运动过程中相遇次数与加速度的关系.
【分析】
设甲经过时间t追上乙，它们相遇时有x
甲
－x
乙
=s.
①
　　由运动学公式得：x
甲
=v
0
t+a
2
t
2
/2，x
乙
=
a
1
t
2
/2
②

对③进行讨论：

（1）当a
1
<a
2
时，③式t只有一个正解，则相遇一次.
（2）当a
1
=a
2
时，x
甲
-x
乙
=s，所以t=s/v
0
，t只有一个解，则相遇一次.
（3）当a
1
＞a
2
时，若v
0
2
<2（a
1
-a
2
）s，③式无解，即不相遇，
若v
0
2
=2（a
1
-a
2
）s，③式t只有一个解，即相遇一次.
若v
0
2
＞2（a
1
-a
2
）s，③式t有两个正解，即相遇两次.
3.
图像法
图像在中学物理解题中应用十分广泛,它能形象地表达物理规律,直观地叙述物理过程,并简洁地表示物理量间的各种关系.所以图像法是解决物理问题的一种重要方法.在追及问题中，一般根据两物体的运动情况，画出运动物体的位移-时间图像或者速度-时间图像，然后根据它们的运动关系解题.
调研3

两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度均为v
0
，若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车.已知前车在刹车过程中所行驶的距离为s，若要保证两辆车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为

a.s
b.2s
c.3s
d.4s
【分析】
根据题意画出前车刹车后做匀减速运动的速度-时间图线（如图线①），前车经过时间t停下来，在这段时间内，后车做匀速运动（如图线②），在t时刻后车也开始刹车，后车以同样的加速度做匀减速运动(如图线③).由速度-时间图像的物理意义可知,前车经过的位移大小等于△oat的面积，大小为s，而后车经过的位移大小等于梯形oadc的面积，所以，两车在匀速行驶时保持的距离至少应为平行四边形atcd的面积，其大小为2s，即选项b正确.答案：b

4.
相对运动法
我们研究物体的运动情况，通常选取地面作为参考系.有时为了研究方便，可以灵活选取参考系.当选取其他物体作为参考系时，被研究的物体的运动就是相对这个物体的.
调研4

在水平轨道上有两列火车a和b相距x，a车在后面做初速度为v
0
、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而b车与a车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同．要使两车不相撞，则a车的初速度v
0
应满足什么条件？
【分析】
选取b车为参考系，认为b车静止不动.a车相对b车做匀减速运动，a车的相对初速度为v
0
，相对加速度为a′＝-2a-a＝-3a，相对位移为x，a车追上b车且刚好不相撞的条件是：a车相对b车的末速度v
t
＝0
由运动学公式v
t
2
-v
0
2
=2as　得：0-v
0
2
=2(-3a)x
所以，即要使两车不相撞，a车的初速度v
0
应满足的条件是
点评

本题巧选b车作为参考系，从而使解题更简单.在用相对运动方法解题时，当选取恰当的参考系后，要特别注意被研究物体的相对速度、相对位移和相对加速度等.

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