用待定系数法,设原式=
(x^2+ax+b)(x^2+cx+d),
由于各项系数都必须相等,所以有
a+c=8
b+d+ac=15
ad+bc=-4
bd=-20
这种四元高次方程一般是很难解的,但是由于a,b,c,d都是整数,因此可以求解。
解法如下:
由bd=-20=1*(-20)=2*(-10)=4*(-5)=5*(-4)=10*(-2)=20*(-1),有
b=1,d=-20或b=2,d=-10或b=4,d=-5或b=5,d=-4或b=10,d=-2或b=20,d=-1。
(因为b、d均为整数,所以b和d必须均为-20的因子)
又因为前两个方程
a+c=8
b+d+ac=15
有实数解,将它看作关于a、c的二元二次方程,b、d看作参数,则有
a+c=8
ac=15-bd
由韦达定理可知,a和c是方程
x^2-8x+(15-b-d)=0 (1)
的两根。
又因为该方程有有理根,所以判别式必是个平方数,即
64-60+4b+4d
=4-4b+4d是个平方数,因为4是个平方数,所以可以提出个4来,则有1+b+d需是个平方数。将上面求得的b、d的所有值代入一一验算,发现只有下面两组解满足要求:
b1=5,d1=-4
b2=10,d2=-2
再代入方程(1),分别求得a、c的值为
a1=4,c1=4
a2=7,c2=1
于是得到两组解:
a1=4,b1=5,c1=4,d1=-4;
a2=7,b2=10,c2=1,d2=-2。
但这还只是方程组
a+c=8
b+d+ac=15
bd=-20
的解,原方程组还有一个方程
ad+bc=-4。
将求得的两组解代入验算,发现第1组解不是这个方程的解,所以原方程组真正的解是第二组a2=7,b2=10,c2=1,d2=-2。
所以原式的因式分解结果为
原式=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)
=(x^2+7x+10)(x^2+x-2)。
再将这两个式子分解(用十字相乘法),得
原式=(x^2+7x+10)(x^2+x-2)
=(x+2)(x+5)(x-1)(x+2)
=(x-1)(x+5)(x+2)^2。
希望这个解答算详细过程了吧。。。
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