为什么偏导数连续是可微的充分不必要条件：
1、偏导数连续是可微分充分条件，但不是必要条件。
2、比如下面这个函数f(x,y)，函数的表达式为当x,y均为有理数时f(x,y)=x^2+y^2；当x,y中有一个变量为无理数时f(x,y)=0。
3、考虑这个函数在（0,0）处的微分，显然⊿u=f(⊿x,⊿y)-f(0,0)=0*⊿x+0*⊿y+a，其中a的表达式为：当⊿x,⊿y都是有理数时，a=⊿x^2+⊿y^2；当⊿x,⊿y中有一个无理数时a=0。
4、所以a为√⊿x^2+⊿y^2的高阶无穷小，这也就说明了函数f(x,y)在（0,0）是可微的。
5、根据导数定义可以证明函数f在（0,0）处对于x和y的偏导数都等于0。
6、在除（0,0）以外的所有有理数组点的偏导数都是不存在的，因为当x,y为有理数，⊿x以无理数方向趋于0时，⊿f=f(x+⊿x,y)-f(x,y)=-x^2-y^2，所以⊿f/⊿x的极限不存在。
7、所以f在（0,0）的任意一个领域内导数不满足连续条件，但f可微，所以那只是充分而非必要条件。
8、可微必定连续且偏导数存在；连续未必偏导数存在，偏导数存在也未必连续；连续未必可微，偏导数存在也未必可微；偏导数连续是可微的充分不必要条件。
1、偏导数连续是可微分充分条件，但不是必要条件。
2、比如下面这个函数f(x,y)，函数的表达式为当x,y均为有理数时f(x,y)=x^2+y^2；当x,y中有一个变量为无理数时f(x,y)=0。
3、考虑这个函数在（0,0）处的微分，显然⊿u=f(⊿x,⊿y)-f(0,0)=0*⊿x+0*⊿y+a，其中a的表达式为：当⊿x,⊿y都是有理数时，a=⊿x^2+⊿y^2；当⊿x,⊿y中有一个无理数时a=0。
4、所以a为√⊿x^2+⊿y^2的高阶无穷小，这也就说明了函数f(x,y)在（0,0）是可微的。
5、根据导数定义可以证明函数f在（0,0）处对于x和y的偏导数都等于0。
6、在除（0,0）以外的所有有理数组点的偏导数都是不存在的，因为当x,y为有理数，⊿x以无理数方向趋于0时，⊿f=f(x+⊿x,y)-f(x,y)=-x^2-y^2，所以⊿f/⊿x的极限不存在。
7、所以f在（0,0）的任意一个领域内导数不满足连续条件，但f可微，所以那只是充分而非必要条件。
8、可微必定连续且偏导数存在；连续未必偏导数存在，偏导数存在也未必连续；连续未必可微，偏导数存在也未必可微；偏导数连续是可微的充分不必要条件。
温馨提示：内容为网友见解，仅供参考
第1个回答 2015-06-22
1、可导、可微的概念，并不是国际微积分的概念，
可导、可微的区别，仅仅只是中国式微积分概念；
2、在英文中，只有 differentiable 的概念，我们时而
翻译成可导，时而翻译成可微，没有一定之规；
3、类似的并且是紧密相关的概念有：
total differentiation ，我们时而译成全导数，时而译成全微分；
partial differentiation ，我们时而译成偏导数，时而译成偏微分；
、、、、、、、、类似的非驴非马的中文概念汗牛充栋，罄竹难书。
用中文写出的很多论文，已经完全无法再翻译成英文，歧途岔道，是注定的。
正因为无法纳入国际微积分概念，调侃国际微积分，自我安慰，就成了习惯。
4、在中国式的微积分概念中：
在所有方向上可以求导，也就是方向导数，就是可微；
可微一定可导，可导不一定可微。
偏导函数连续，按照矢量合成的方法，就可以得到各个方向的方向导数，
也就自然而然地可微了，也就是充分了。
可微就是在各个方向的方向导数存在，而方向导数是由各个正交方向上的
偏导数在欲求的方向导数的方向上分量之和所确定，只要某点的各偏导数
存在，就能得到各方向上的方向导数。只要各方向上的方向导数存在，就
是可微。并未要求各偏导数连续，这就是必要条件。本回答被提问者和网友采纳
可导、可微的区别，仅仅只是中国式微积分概念；
2、在英文中，只有 differentiable 的概念，我们时而
翻译成可导，时而翻译成可微，没有一定之规；
3、类似的并且是紧密相关的概念有：
total differentiation ，我们时而译成全导数，时而译成全微分；
partial differentiation ，我们时而译成偏导数，时而译成偏微分；
、、、、、、、、类似的非驴非马的中文概念汗牛充栋，罄竹难书。
用中文写出的很多论文，已经完全无法再翻译成英文，歧途岔道，是注定的。
正因为无法纳入国际微积分概念，调侃国际微积分，自我安慰，就成了习惯。
4、在中国式的微积分概念中：
在所有方向上可以求导，也就是方向导数，就是可微；
可微一定可导，可导不一定可微。
偏导函数连续，按照矢量合成的方法，就可以得到各个方向的方向导数，
也就自然而然地可微了，也就是充分了。
可微就是在各个方向的方向导数存在，而方向导数是由各个正交方向上的
偏导数在欲求的方向导数的方向上分量之和所确定，只要某点的各偏导数
存在，就能得到各方向上的方向导数。只要各方向上的方向导数存在，就
是可微。并未要求各偏导数连续，这就是必要条件。本回答被提问者和网友采纳
第2个回答 2015-11-11
导数都是呢。肯定是可微必须连续，连续不一定可微赛。举可反例，绝对值x的函数图像就是连续的可是在x=0就是不可导的呢
相似回答
