求所有的正整数m,n，以及整数k>1，满足下列条件： 1！+2！+…+n！=m{k}（其中m{k}表示m的k次方）．

如题所述

如果存在满足条件的m、n，则m必然为奇数。观察可知1！+2！+3！=3^2。记Fn=1！+2！+…+n！，猜测当n＞3时不存在使Fn=m^k的正整数m、n。通过排除法来验证这个猜测。

（1）结论1：如果存在满足条件的m、n，则m的尾数只能是3或7
当n≥5时，n！的末位数是0，而F4=33，于是当n≥5时Fn的末位数必然都是3。通过考察尾数分别1、3、5、7、9的自然数乘幂的末位数，可知只有末位数是3或7的自然数，其乘幂才有可能末位数是3。

（2）结论2：任何自然数的乘幂末二位数都不可能是“13”
在结论（1）基础上，再进一步考察末位数分别是3、7的自然数的末二位数情况。
末位数是3的自然数，其乘幂的末二位数分别为01、03、09、27、81、43、29、87、61、83、49、47、41、23、69、07、21、63、89、67，此后随着幂指数的增加幂的末二位数开始往复循环，循环周期为20；
末位数是7的自然数，其乘幂的末二位数分别为01、07、49、43，此后随着幂指数的增加幂的末二位数开始往复循环，循环周期为4；
总之，上述循环中都没出现13这个数，说明任何自然数的幂的末二位都不可能是“13”。（以上关于自然数乘幂的末二位数循环的结论可以通过数学归纳法给予更加严格的证明。）

现在回过头再看Fn，当n=9时，可算得F9的末二位数为13，而当n≥10时，n！的末二位数都是“00”，此时Fn的末二位数不再随着n的增加而改变。所以根据结论（2）当n≥10时不可能存在满足条件的m、n。

当n≤9时，容易验证F4、F5、F6和F8都不符合条件，而F7、F9的末二位数也都是13，根据结论（2）也不可能存在满足条件的m、n。

综上，满足条件的只有一个解：1！+2！+3！=3^2

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