已只原函数的导数为:根号下的多项式,求此类原函数有哪些方法?如:y=根号(4-x*x)

如题所述

1.最简单的办法，查看积分表
2.次简单的办法，背下来积分表（虽然很难但是背了的确管一定得用）
3.特殊问题特殊对待
I：根号下是一次的，直接把根号下当做整体进行换元积分，比如（x+1)^(0.5)，（其中^表示乘 幂）的原函数就是(2/3)(x+1)^(1.5)+C
II：根号下是2次的，配方之后换元积分。比如(x^2+2x+2)^(0.5)，就可以转化成[(x+1)^2+1]^(0.5)，然后对小括号内进行换元积分，于是按照常见积分的原则，原函数为arcsinh(x+1)+C，如果配方后后面加的不是1而是某个数m，比如这样[(x+1)^2+m]^(0.5)，那就把m提出来，变成m^(0.5) X {[(x+1)^2]/m+1}^(0.5)，这样相当于在外面成了一个常数，而把剩下的部分又变成类似于常见函数的导数的样子了，把[(x+1)^2]/m当成整体进行换元积分即可。
III：3次以上的基本没有固定套路了，而且很多都是无法用初等函数表示出原函数的，不过有些例子可以巧算，比如根号外面有一次乘数，而括号内部只有2次、4次和常数项的时候，就可以先进行一次换元积分，把x^2当成整体，之后再按照II中的办法继续进行。

最后说一下楼主这个问题，就题论题。转化为y=2*[1-(x/2)^2]^0.5，然后将x/2当成整体进行换元，x/2记作u，于是 2*[1-(x/2)^2]^(0.5)dx=2*[1-u^2]dx=4(1-u^2)^(0.5)du，接下来可以用常见函数公式直接得出结果。也可以用三角换元的办法把u换做sint或者cost来消掉根号，比如换成sint (其中-π/2≤t≤π/2)，之后4(1-u^2)^(0.5)du=4cost d(sint)=4(cost)^2 dt=2(1+cos2t)dt=d[2t+sin2t]=d[2arcsinu+u(1-u^2)^(0.5)],于是最终结果为
2arcsinu+u(1-u^2)^(0.5)+C，再把u换回(x/2)^2即可

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