【简单数学】上数学课时，老师提出了一个问题：“一个奇数的平方减1，结果是怎样的数？”．请你解答

答案为什么是8的倍数呢？

　　【方法一】：

　　当奇数为1、3、5、时，这个数为0、8、24、，（2分）

　　所以这个数应是8的倍数．（4分）

　　然后转入代数化，参照方法二给分．

　　（注：用-至两个数验算，未回答不给分，回答是整数、偶数给1分，回答是4的倍数、8的倍数给2分；用3个以上的数验算，回答是整数、偶数、4的倍数给3分）

　　【方法二】：设奇数为2n+1（n为整数），（1）

　　则这个数为（2n+1）2-1=4n2+4n=4（n2+n）=4n（n+1）．（3分）

　　（到此处：回答是整数、偶数、4的倍数的给4分）

　　因为n为整数，所以n与n+1中必有一个偶数．（4分）

　　所以n（n+1）是偶数（或者说是2的倍数）．（5分）

　　所以结果是8的倍数．（6分）

　　考点梳理

　　据专家权威分析，试题“上数学课时，老师提出了一个问题：“一个奇数的平方减1，结果是怎样..”主要考查你对  因式分解  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

　　因式分解

　　考点名称：因式分解

　　定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

　　它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。

　　因式分解没有普遍适用的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法，短除法，除法等。

　　注意四原则：

　　1．分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）

　　2．最后结果只有小括号

　　3．最后结果中多项式首项系数为正（例如：）不一定首项一定为正。

　　因式分解中的四个注意：

　　①首项有负常提负，

　　②各项有“公”先提“公”，

　　③某项提出莫漏1，

　　④括号里面分到“底”。

　　现举下例，可供参考。

　　例：

　　把-a2-b2+2ab+4分解因式。

　　解：-a2-b2+2ab+4

　　=-(a2-2ab+b2-4）

　　=-[(a-b)2-4]

　　=-(a-b+2)(a-b-2)

　　这里的“负”，指“负号”。

　　如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的;

　　这里的“公”指“公因式”。

　　如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；

　　这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。

　　分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。

　　其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。

　　在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数！

　　由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”等是一脉相承的。

　　分解步骤：

　　①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

　　②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

　　③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解

　　④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

　　也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对合适。”

　　分解因式技巧掌握：

　　①分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式

　　②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示

　　③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数

　　④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

　　注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

　　主要方法：

　　1.提取公因式法：

　　如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

　　提公因式法基本步骤：

　　（1）找出公因式

　　（2）提公因式并确定另一个因式：

　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母

　　②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式

　　③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

　　2.公式法：

　　把乘法公式的平方差公式和完全平方公式反过来，得到因式分解的公式：

　　平方差公式：a2-b2=（a+b）·（a-b）；

　　完全平方式：a2±2ab+b2=（a±b）2；

　　立方差公式：。

　　3.分组分解法：

　　利用分组分解因式的方法叫做分组分解法，ac+ad+bc+bd=a·（c+d）+b·（c+d）=（a+b）·（c+d）

　　其原则：

　　①连续提取公因式法：分组后每组能够分解因式，每组分解因式后，组与组之间又有公因式可提。

　　②分组后直接运用公式法：分组后各组内可以直接应用公式，各组分解因式后，使组与组之间构成公式的形式，然后用公式法分解因式。

　　4.十字相乘法：a2+（p+q）·a+p·q=（a+p）·（a+q）。

　　5.解方程法:

　　通过解方程来进行因式分解，如

　　x2+2x+1=0 ,解，得x1=-1，x2=-1，就得到原式=（x+1）×（x+1）

　　6.待定系数法:

　　首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

　　例:

　　分解因式x -x -5x -6x-4

　　分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。

　　解：

　　设x -x -5x -6x-4

　　=(x +ax+b)(x +cx+d)

　　= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd

　　所以 解得 a=1,b=1,c=-2,d=-4

　　则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)