一二阶线性微分方程的通解公式

如题所述

解：齐次方程y''-2y'-3y=0的特征方程是λ-2λ-3=0，解得：

λ1=3，λ2=-1。

所以齐次方程得通解是：y=ae^(3x)+be^(-x)。

只需求其特解y*。

根据右边4e^x，可设y*=ke^x，代入左边得：ke^x-2ke^x-3ke^x=4e^x。

解得k=-1。

特征根方程r^2+r-2=0r=2，-1y=Ae^(2x)+Be^(-x)。

然后找特解待定系数，因为右端项为x^2猜测：

x^2-2ax^2+(2a-2b)x+2a+b-2c=x^2-2a=12a-2b=02a+b-2c=0a=-1/2。

扩展资料：

微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。

常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。

若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。

偏微分方程常见的问题以边界值问题为主，不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。