[f(a)-f(b)]/(a-b)>0，因此f(x)在[-1,1]是增函数。
（这里说明函数单调性一个方法：任取x1，x2，若[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)>0，为增函数；若[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)<0，为减函数。这种方法和课本定义的方法是等价的。为什么呢，因为[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)>0，要使之成立，要么是x1>x2且f(x1)>f(x2)，要么x1<x2且f(x1)<f(x2)；同样减函数也是这样；由此还可以证明：若[f(x1)-f(x2)]·(x1-x2)>0，为增函数；若[f(x1)-f(x2)]·(x1-x2)<0，为减函数。)
（2）f(x)定义域是[-1,1]，所以有-1≤x-1≤1，-1≤2x≤1，又因为是增函数，所以有x-1<2x，解不等式组即可求出x范围。
（3）显然要使f(x)≤-2am+2对任意x∈[-1,1]成立，只要f(x)最大值不大于-2am+2即可。
f(x)是增函数，所以f(x)最大值为f(1)，题目已知f(1)=1，所以有-2am+2≥1，到这里要对a进行讨论
显然a=0时，m∈R不等式成立，当0<a≤1时，m≤1/2a，m要不大于1/2a的最小值，所以有m≤1/2；当a<0时，m≥1/2a，m要不小于1/2a最大值，所以有m≥-1/2，取交集，可得-1/2≤m≤1/2。追问
第一问，题上有 a+b不等于0 说明不是”任取“啊
追答若a，b∈[-1,1]，有[f(a)+f(b)]/(a+b)>0，请问a，b可以在[-1,1]内任取吗？读懂题目再认真思考，不要顾后不顾前。a+b≠0，是保证分母不为0，已知条件才有意义。
（2）从题设给的x的取值范围去求 既然从（1）里得出函数是增函数 那么函数的大小就决定了里面变量的大小 而且在【-1,1】的范围内 就能求出了【0,1/2】
（3）从前两问知道函数的最大值是1 所以函数一定小于等于负一 解一个不等式 而且要把a的范围分开讨论 a大于0时 小于0时 等于0时追问
第一小问，我有问题。
一般不都是 ”任取X1，X2属于....规定X1小于X2....则F（X1）-F（X2）......“
不都是这样吗？为什么这道题 ...不一样呢
可以那样 但是从这道题看起来 没给具体函数 所以是不好使的
追问为什么
”x等于一时函数等于一可以得出 x等于负一时函数为一“
之后就是怎函数了？
x等于负一时函数为负一 函数是奇函数
求满意啊，打了好久
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1．集合 2．函数 3．基本初等函数 4．立体几何初步 5．平面解析几何初步 6．基本初等函数 7．平面向量 8．三角恒等变换 9．解三角形 10.数列 11.不等式
