一次期末考试的试卷上有6道选择题,每题有3个选项.在阅卷的过程中老师发现在所有卷子中任选3张答卷,都有一道题选择互不相同.问最多有多少人参加这次考试?高手的答案是13个,理由如下第一道题有三个人分别选了1、2、3
第二道题他们三个人选了同一个答案(就是1吧,因为所有答案条件相同无所谓的),另外两个人选了2、3
第三道题他们五个人选了1,其他两个人选了2、3
第四题他们7个选1,另两个2、3
第五题他们9个选1,另两个2、3
第六题他们11个选1,另两个2、3
一共13人。只有这种情况才能保证随便三张卷子都有1题答案互不相同,这是抽屉定理中的穷举法。
这题最多人数应该是13。
首先只有一道试题时候最多3人,只有两道试题的时候最多4人,这个很容易用穷举法知道。现在,如果有14人做这道题的话,14人中任取3人的组合共有364种,根据抽屉原理,这里至少有122种取法第一题的答案相同。同样,在这122种取法中,至少41种取法第2题答案相同,接下来有14种取法第3题答案相同,5种取法第4题答案相同,这样根据两道题时候的情况,可以知道14人是不可能的,所以最多13人。
但我认为,第一种说法认为第二道题会有五个人,显然错误。而第二种解法中这里至少有122种取法第一题的答案相同也似乎有问题。举例如下:
不妨假设提问的是两道题时最多的人数,按照答案,应为4个,那么任意取出3个的取法有4种,如果答案的算法不过是除以3余则进的话,那么第一道题相同的取法有2种。可是,如果我们算算看,会发现其实一种都没有。我通过列举,可以满足12种,但无论如何不能找到第十三种,希望大家解决我的困惑。
看不懂的别说话
谢谢2楼的仁兄的参与!但我已经构造出12个的情况,而且很容易可以构造出10个的情况。(未找到第十三种)
AAAAAA BBBAAB CCCABB ABCBBA BCABBB CABBAB CBACAA ACBCBA BACCAB AACBCB BBACBC CAACCC