将向量L单位化可得其方向余弦:L0= (1,-1,0) / (√2)
对函数f求偏导数:f'x=2x, f'y=2y, f'z=2z,
由方向导数公式得 f'L=f'x * (1/√2) + f'y * (-1/√2)= (√2) (x-y)
以下就是求函数 H(x,y,z) = (√2) (x-y) 在条件 2x^2+2y^2+z^2=1下的最大值。用Lagrange乘数法。
构造函数 L(x,y,z)= (√2) (x-y) + k ( 2x^2+2y^2+z^2 -1)
令 L'x=0, L'y=0, L'z=0, L'k=0
得 √2 +4kx=0, -√2 +4ky=0, 2kz=0, 2x^2+2y^2+z^2=1(先由第三个得z=0, 再由第一第二得x=-y,
代入第四个就可求x,y,z)
解得可能极值点 (-1/2,1/2,0), (1/2, -1/2,0)
比较这两点处H的值,得 Hmax= H(1/2, -1/2,0) = √2, 所求的点为 (1/2, -1/2,0)
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