公司没给员工买保险，员工在下班后出交通事故能向公司索赔吗？

因该岗位需要经常出差，以前在同行业的其他家公司都有买意外险。来了后来这家公司上班以为也会买意外险，所以入职时也没细问。在上班几个月后，员工在非上班时间出交通事故入院。入院后几天打电话给公司问保险怎么买的，公司给的答复却很含糊，说“不知道是公司的哪个人在负责买的了”。这之后公司就再没说什么。几天后告诉公司员工从本月起开始给员工购买五险一金。看公司的表现我们觉得公司在这之前应该没给员工买保险，是有员工出事后才买的保险。因为摔得比较重，手骨头断裂，脸上骨头碎了。做手术估计医药费得好几十万，脸上不同位置还得留下三条开口很大的疤痕。这种情况可以要求公司做出什么赔偿来减轻自家的经济负担。望懂这块法律知道的朋友帮帮忙，告诉我一下感激不尽！我财富值不多不好意思。