第9题：n = 0 时显然
设 n 时成立，那么 n+1 时：
a^(n+3) + (a+1)^(2n+3)
= a * a^(n+2) + (a^2 + 2a + 1) * (a+1)^(2n+1)
= a * (a^(n+2) + (a+1)^(2n+1)) + (a^2 + a + 1) * (a+1)^(2n+1)
由归纳假设，前面一项中的 a^(n+2) + (a+1)^(2n+1) 能被 a^2 + a + 1 整除，
所以整个式子能被 a^2 + a + 1 整除。
第10题，第1小问：
题印错了，应该证明：133 | 11^(n+2) + 12(2n+1)
因为代入 n = 0：11^2 + 12^1 = 133
n = 1：11^3 + 12^3 = 3059 = 23 * 133
所以应该是证 133 整除 11^(n+2) + 12(2n+1)
证明过程：n = 0 时显然
设 n 时成立，那么 n+1 时：
11^(n+3) + 12^(2n+3)
= 11 * 11^(n+2) + 144 * 12^(2n+1)
= 11 * (11^(n+2) + 12^(2n+1)) + 133 * 12^(2n+1)
由归纳假设，前面一项中的 11^(n+2) + 12(2n+1) 能被 133 整除，
所以整个式子能被 133 整除。
第10题，第2小问：
n = 0 时显然
设 n 时成立，则 n+1 时：
(n+1)^5 - 5(n+1)^3 + 4(n+1)
= (n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 5n + 1) - 5(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + 4(n+1)
= (n^5 - 5n^3 + 4n) + (5n^4 + 10n^3 - 5n^2 - 10n)
= (n^5 - 5n^3 + 4n) + 5n * (n^2 * (n+2) - (n+2))
= (n^5 - 5n^3 + 4n) + 5n(n-1)(n+1)(n+2)
由归纳假设，前面一项 n^5 - 5n^3 + 4n 能被 120 整除，
所以只需证明后面的 5n(n-1)(n+1)(n+2) 能被 120 整除。
由于 120 = 3 * 5 * 8，所以只需分别证明：5n(n-1)(n+1)(n+2) 能被 3、5、8 整除。
显然，5n(n-1)(n+1)(n+2) 能被 5 整除。
又因为 n、n-1、n+1 中必有一个是 3 的倍数，所以 5n(n-1)(n+1)(n+2) 也能被 3 整除。
下面证明 5n(n-1)(n+1)(n+2) 能被 8 整除：
如果 n 是偶数，那么 n、n+2 是两个相邻的偶数，必有一个能被 4 整除，所以 n(n+2) 能被 8 整除，所以 5n(n-1)(n+1)(n+2) 能被 8 整除。
如果 n 是奇数，那么 n-1、n+1 是两个相邻的偶数，必有一个能被 4 整除，所以 (n-1)(n+1) 能被 8 整除，所以 5n(n-1)(n+1)(n+2) 能被 8 整除。
证完了。
第10题，第3小问：
这个题目又错了，n = 1 时就不是整数，而且我猜不出正确的题目是什么样的。
不过显然也是用类似的数学归纳法证明的。
关于初等数论的8道题目~谢谢250分
1. 因为(k,n)=d，则存在整数s, t，使得ks+nt=d.所以a^(ks)=1(mod m)a^(nt)=1(mod m)a^d=a^(ks+nt)=1(mod m)2. 因为当(b,a)=1当且仅当(a-b, a)=1.用如同高斯求1+2+...+100相同的方法可知：和=1\/2 *(a-b+b) *φ(a)=1\/2 *a*φ(a).3. 需要证ax+b(...
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初等数论问题??
若a[n] ≥ 0, 则无穷乘积∏(1+a[n])收敛(< +∞), 当且仅当∑a[n]收敛;若-1 < a[n] ≤ 0, 则无穷乘积∏(1+a[n])收敛(> 0), 当且仅当∑a[n]收敛.证明很简单, 因为无论∏(1+a[n]), ∑a[n]哪个收敛, 都有lim{n → ∞} a[n] = 0.于是lim{n → ∞} ln(1+...
初等数论问题,a,b是两个不全为零的整数,则存在两个整数s,t使得as+bt...
我们先证明两整数a,b互质的充分与必要条件是:存在两个整数S,T满足条件 as+bt=1 证明：1)充分性：因为as+bt=1,设c=(a,b),则c整除a和b,所以c整除as+bt,即c整除1,所以c=1,即a和b互质 2)必要性：因为a和b互质，所以(a,b)=1。考虑非空集合A={as+bt│s,t为任意整数},不妨设a0是A...
关于《初等数论》中“最小自然数原理”证明的问题,中括号里的是问题...
首先，要明白“最小自然数原理"(亦称良序原理)，说的是自然数集的每个非空子集都有个最小元素。所以，【1. 为什么要说明S非空？】应该没有什么疑问了吧。【2. 为什么t1+1比t1大了就不能属于S？ 比如说t1+1是{t1+n：n≥1，n∈N}中最小的，t1+1照样可以被放置在集合S中啊，难道是我想法...
