（1）首先你必须知道以下事实：
1.e=lim(x→+∞)(1+1/x)^x
2.f(x)=lnx，是以e为底的对数，叫自然对数。
（2）然后让我们用初等数学来证明两个解本题的基本结论
1.数列ax=(1+1/x)^x是单调递增的，且其最大值即e=lim(x→+∞)(1+1/x)^x
证明：即证[1+1/(x)]^x<[1+1/(x+1)]^(x+1) x是正整数
1+1/(x+1)=1/x+1/x+...+1/x+1>(x+1)个(x+1)次根号下[(1/x)^x*1/(x+1)]
[然后将x+1放到根号中去]
=(x+1)次根号下[(x+1/x)^x]
1+1/(x+1)>(x+1)次根号下[(x+1/x)^x]
(1+1/(x+1))^(x+1)>(x+1/x)^x 而e=lim(x→+∞)(1+1/x)^x
所以(1+1/x)^x<e
2.数列ax=[1+1/(x-1)]^x是单调递减的，且其最小值即e=lim(x→+∞)[1+1/(x-1)]^x
证明：即证(1+1/x)^(x+1)<[1+1/(x-1)]^x
(1+1/x)^(x+1)=(1+2/x+1/x^2)*(1+1/x)*(1+1/x)*(1+1/x)...[x-1个(1+1/x)]<{[(1+1/x)(x-1)+1+2/x+1/x^2]/x}^x [均值不等式]
=(1+1/x+1/x^2+1/x^3)^x
而1+1/(x-1)=x/(x-1)=1/(1-1/x)=1+1/x+1/x^2+1/x^3+1/x^4...1/x^n(n=∞)
所以1+1/(x-1)>1+1/x+1/x^2+1/x^3
所以(1+1/x)^(x+1)<(1+1/x+1/x^2+1/x^3)^x<[1+1/(x-1)]^x
而e=lim(x→+∞)[1+1/(x-1)]^x
所以e<[1+1/(x-1)]^x
其实，1.还可以用二项式定理证明，不过我不大记得了，你可以试试看。
(3)最后用数学归纳法证明此不等式1/2+1/3+……+1/n<lnn<1+1/2+……+1/（n-1）
1.当n=2时，1/2<ln2<1+1/2
2.假定当n=k-1时，假定1/2+1/3+……+1/k-1<ln（k-1）<1+1/2+……+1/（k-2）
3.一方面,lnk-ln(k-1)=ln(k/k-1)=ln(1+1/k-1),e<[1+1/(k-1)]^k
两边取对手数，ln(1+1/k-1)>1/k,而1/2+1/3+……+1/k-1<ln（k-1）
所以1/2+1/3+……+1/k<ln（k-1）+ln(1+1/k-1)=lnk
另一方面(1+1/x)^x<e，也即(1+1/k-1)^k-1<e
两边取对手数，ln(1+1/k-1)<1/(k-1),而ln（k-1）<1+1/2+……+1/（k-2）
所以ln(k-1)+ln(1+1/k-1)=lnk<1+1/2+……+1/（k-1）
所以当n=k时，不等式成立。
综上，1/2+1/3+……+1/n<lnn<1+1/2+……+1/（n-1）
实际上1+1/2+1/3...+1/n当n趋向于无穷大时，等于lnn，是发散的。
证明:1+1\/2+1\/3+……+1\/n>In(n+1)+n\/(2n+2)
简单分析一下，详情如图所示 原理
证明:1+1\/2+1\/3+……+1\/n>In(n+1)+n\/(2n+2)
我们注意到：ln(n+1)=ln[(n+1)\/n]+ln[n\/(n-1)]+...+ln(3\/2)+ln(2\/1)，而n\/(n+1)=1-1\/(n+1)=[1-1\/2]+[1\/2-1\/3]+...+[1\/n-1\/(n+1)],于是我们根据不等两边通项构造函：f(x)=x-ln(1+x)-(1\/2)[x-x\/(x+1)],x>0,求导易得：f(x)=x^2\/[2(x...
求证:1+1\/2+1\/3+…+1\/n>ln(n+1)+n\/2(n+1)(n≥1) 本人高中,关于函数和导 ...
则上式表示(n-1)个小矩形面积的积，比如1\/2代表区间[2,3]上以1\/2为宽的小矩形 又y=1\/x是[1,正无穷）上的凹函数 故上式>积分（n,1）dx\/x=lnn(注意积分上限是n不是n-1)又lnn-ln((n+1)\/2)=ln[2n\/(n+1)]容易证明 当n>1时 2n\/(n+1)>1 故ln[2n\/(n+1)]>0 故上式>...
证明1+1\/2+1\/3+...+1\/n>ln(n+1)+n\/2(n+1) , (n>=1),用数学归纳法点做...
则上式表示(n-1)个小矩形面积的积，比如1\/2代表区间[2,3]上以1\/2为宽的小矩形 又y=1\/x是[1,正无穷）上的凹函数 故上式>积分（n,1）dx\/x=lnn(注意积分上限是n不是n-1)又lnn-ln((n+1)\/2)=ln[2n\/(n+1)]容易证明 当n>1时 2n\/(n+1)>1 故ln[2n\/(n+1)]>0 故上式>...
证明1+1\/2+1\/3+...+1\/n>ln(n+1)+n\/2(n+1),(n>=1),用数学归纳法点做啊...
先证明引理：当0<x<=1时x>ln(1+x)证明如下：构造函数y=x-ln(1+x)则y'=1-1\/(1+x)>0故函数在(0,1]单调增又y(x=0)=0 故当0<x<=1时x>ln(1+x)则当n>1时 有1\/(n-1)>ln(1+1\/(n-1))=ln(n\/(n-1))用数学归纳法证明 1.当n=2时，左边=1+1\/2显然>ln3\/2故不...
求证n为正整数,1+1\/2+1\/3+。。。+1\/n>1\/2*ln((n+1)(n+2)\/2) 用f(x...
所以当x>1时，f(x)>f(1)=0。则f(2)=1-ln2>0 f(3\/2)=1\/2-ln(3\/2)>0 f(4\/3)=1\/3-ln(4\/3)>0 ...f[(n+1)\/n]=1\/n-ln[(n+1)\/n]>0 累加得：1+1\/2+1\/3+……+1\/n>ln2+ln(3\/2)+ln(4\/3)+……+ln[(n+1)\/n]=ln(n+1)又ln(n+1)-1\/2*ln((n...
1证1+1\/2+1\/3+...+1\/n>ln(n+1) 2证1\/2+1\/3+,,,+1\/n+1<ln(n+1)老师用...
先证明引理：当0<x<=1时 x>ln(1+x)证明如下：构造函数y=x-ln(1+x)则y'=1-1\/(1+x)>0 故函数在(0,1]单调增 又y(x=0)=0 故当0<x<=1时 x>ln(1+x)则当n>1时 有1\/(n-1)>ln(1+1\/(n-1))=ln(n\/(n-1))用数学归纳法证明 1.当n=2时，左边=1+1\/2 显然>ln3...
调和数列1+1\/2+1\/3+...+1\/n的求和公式是ln(n)+C(欧拉常数)吗
= sqrt(n)+ 1\/(2*sqrt(n))设 s(n)=sqrt(n),因为：1\/(n+1)<1\/(2*sqrt(n))所以：s(n+1)=s(n)+1\/(n+1)< s(n)+1\/(2*sqrt(n))即求得s(n)的上限 1+1\/2+1\/3+…+1\/n是没有好的计算公式的，所有计算公式都是计算近似值的，且精确度不高。自然数的倒数组成的数列,...
1+1\/2+1\/3+1\/4+…+1\/n等于多少
1+1\/2+1\/3+1\/4+…+1\/n等于无穷大。在高等数学里叫做收敛级数，即前N项的和趋于无极限。1+1\/2+1\/3+……+1\/n =ln(n)+C，(C为欧拉常数)具体证明看下面的链接 欧拉常数近似值约为0.57721566490153286060651209 这道题用数列的方法是算不出来的 Sn=1+1\/2+1\/3+…+1\/n >ln(1+1)+...
1+1\/2+1\/3+...+1\/ n=?
Euler(欧拉)在1734年，利用Newton的成果，首先获得了调和级数有限多项和的值。结果是：1+1\/2+1\/3+1\/4+...+1\/n= ln(n+1)+r(r为常量)他的证明是这样的：根据Newton的幂级数有：ln(1+1\/x) = 1\/x - 1\/2x^2 + 1\/3x^3 - ...于是：1\/x = ln((x+1)\/x) + 1\/2x^2 - ...
