高中数学必修1知识点总结

高中高一数学必修1各章知识点总结

第一章 集合与函数概念

一、集合有关概念

1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：

1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性

说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

2．集合的表示方法：列举法与描述法。

注意啊：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：N

正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

关于“属于”的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a?A

列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}

4、集合的分类：

1．有限集 含有有限个元素的集合

2．无限集 含有无限个元素的集合

3．空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意： 有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”

结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B

① 任何一个集合是它本身的子集。AíA

②真子集:如果AíB,且A1 B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)

③如果 AíB, BíC ,那么 AíC

④ 如果AíB 同时 BíA 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算

1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．

记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．

2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．

3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A,

A∪φ= A ,A∪B = B∪A.

4、全集与补集

（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即 ），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）

记作： CSA 即 CSA ={x | x?S且 x?A}

S

CsA

A

（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

（3）性质：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U

二、函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

注意：2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．

定义域补充

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)

构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)

(见课本21页相关例2)

值域补充

(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。

3. 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．

C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }

图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。

(2) 画法

A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.

B、图象变换法（请参考必修4三角函数）

常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换

(3)作用：

1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。

发现解题中的错误。

4．快去了解区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．

5．什么叫做映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A B”

给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

常用的函数表示法及各自的优点：

1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．

注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值

补充一：分段函数 （参见课本P24-25）

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

补充二：复合函数

如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f、g的复合函数。

例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)

7．函数单调性

（1）．增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间（睇清楚课本单调区间的概念）

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

注意：1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) 。

（2） 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：

1 任取x1，x2∈D，且x1<x2；2 作差f(x1)－f(x2)；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法(从图象上看升降)_

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：

函数
单调性

u=g(x)
增
增
减
减

y=f(u)
增
减
增
减

y=f[g(x)]
增
减
减
增

注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗？

8．函数的奇偶性

（1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

注意：1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。

2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；2 确定f(－x)与f(x)的关系；3 作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

注意啊：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

9、函数的解析表达式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2 利用图象求函数的最大（小）值3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

第二章 基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根（n th root），其中 >1，且 ∈ *．

当 是奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数．此时， 的 次方根用符号 表示．式子 叫做根式（radical），这里 叫做根指数（radical exponent）， 叫做被开方数（radicand）．

当 是偶数时，正数的 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数 的正的 次方根用符号 表示，负的 次方根用符号－ 表示．正的 次方根与负的 次方根可以合并成± （ >0）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作 。

注意：当 是奇数时， ，当 是偶数时，
2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

，
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．

3．实数指数幂的运算性质

（1） · ；

（2） ；

（3） ．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数（exponential ），其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

2、指数函数的图象和性质

a>1
0<a<1

图象特征
函数性质

向x、y轴正负方向无限延伸
函数的定义域为R

图象关于原点和y轴不对称
非奇非偶函数

函数图象都在x轴上方
函数的值域为R+

函数图象都过定点（0，1）

自左向右看，

图象逐渐上升
自左向右看，

图象逐渐下降
增函数
减函数

在第一象限内的图象纵坐标都大于1
在第一象限内的图象纵坐标都小于1

在第二象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都大于1

图象上升趋势是越来越陡
图象上升趋势是越来越缓
函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；
函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上， 值域是 或 ；
（2）若 ，则 ； 取遍所有正数当且仅当 ；
（3）对于指数函数 ，总有 ；
（4）当 时，若 ，则 ；

二、对数函数

（一）对数

1．对数的概念：一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作： （ — 底数， — 真数， — 对数式）

说明：1 注意底数的限制 ，且 ；

2 ；

3 注意对数的书写格式．

两个重要对数：

1 常用对数：以10为底的对数 ；

2 自然对数：以无理数 为底的对数的对数 ．

对数式与指数式的互化

对数式 指数式

对数底数 ← → 幂底数

对数 ← → 指数

真数 ← → 幂

（二）对数的运算性质

如果 ，且 ， ， ，那么：

1 · ＋ ；

2 － ；

3 ．

注意：换底公式

（ ，且 ； ，且 ； ）．

利用换底公式推导下面的结论（1） ；（2） ．

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数 ，且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。

如： ， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

2 对数函数对底数的限制： ，且 ．

2、对数函数的性质：

a>1
0<a<1

图象特征
函数性质

函数图象都在y轴右侧
函数的定义域为（0，＋∞）

图象关于原点和y轴不对称
非奇非偶函数

向y轴正负方向无限延伸
函数的值域为R

函数图象都过定点（1，0）

自左向右看，

图象逐渐上升
自左向右看，

图象逐渐下降
增函数
减函数

第一象限的图象纵坐标都大于0
第一象限的图象纵坐标都大于0

第二象限的图象纵坐标都小于0
第二象限的图象纵坐标都小于0

（三）幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；

（2） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数．特别地，当 时，幂函数的图象下凸；当 时，幂函数的图象上凸；

（3） 时，幂函数的图象在区间 上是减函数．在第一象限内，当 从右边趋向原点时，图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴．

第三章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点。

2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。即：

方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．

3、函数零点的求法：

求函数 的零点：

1 （代数法）求方程 的实数根；

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4、二次函数的零点：

二次函数 ．

1）△＞0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点．

2）△＝0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

3）△＜0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点．本回答被提问者采纳

高一数学必修1各章知识点总结

第一章 集合与函数概念

一、集合有关概念

集合的含义

集合的中元素的三个特性：

元素的确定性如：世界上最高的山

元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

集合的表示方法：列举法与描述法。

注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集） 记作：N

正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

列举法：{a,b,c……}

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{xÎR| x-3>2} ,{x| x-3>2}

语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

Venn图:

4、集合的分类：

有限集 含有有限个元素的集合

无限集 含有无限个元素的集合

空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意： 有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”

即：① 任何一个集合是它本身的子集。AÍA

②真子集:如果AÍB,且A¹ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)

③如果 AÍB, BÍC ,那么 AÍC

④ 如果AÍB 同时 BÍA 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

三、集合的运算

运算类型
交 集
并 集
补 集

定 义
由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A B（读作‘A交B’），即A B=｛x|x A，且x B｝．
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A B（读作‘A并B’），即A B ={x|x A，或x B})．
设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）

S

A

记作 ，即

CSA=

韦

恩

图

示

S

A

S

A

性

质
A A=A

A Φ=Φ

A B=B A

A B A

A B B
A A=A

A Φ=A

A B=B A

A B A

A B B
(CuA) (CuB)

= Cu (A B)

(CuA) (CuB)

= Cu(A B)

A (CuA)=U

A (CuA)= Φ．

例题：

1.下列四组对象，能构成集合的是 （ D ）

A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数

2.集合{a，b，c }的真子集共有 5 个

3.若集合M={y|y=x2-2x+1,x R},N={x|x≥0}，则M与N的关系是 M属于N .

4.设集合A= ，B= ，若A B，则 的取值范围是

5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，

两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。

6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= .

7.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

二、函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

注意：

1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)

(见课本21页相关例2)

2．值域 : 先考虑其定义域

(1)观察法

(2)配方法

(3)代换法

3. 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .

(2) 画法

描点法：

图象变换法

常用变换方法有三种

平移变换

伸缩变换

对称变换

4．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

（2）无穷区间

（3）区间的数轴表示．

5．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象） B（象）”

对于映射f：A→B来说，则应满足：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况．

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

补充：复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

二．函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

（1）增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

注意：函数的单调性是函数的局部性质；

（2） 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：

1 任取x1，x2∈D，且x1<x2；

2 作差f(x1)－f(x2)；

3 变形（通常是因式分解和配方）；

4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8．函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

2确定f(－x)与f(x)的关系；

3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

9、函数的解析表达式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：

凑配法

待定系数法

换元法

消参法

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

2 利用图象求函数的最大（小）值

3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

例题：

1.求下列函数的定义域：

⑴ ⑵

2.设函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为_ _

3.若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是

4.函数 ，若 ，则 =

5.求下列函数的值域：

⑴ ⑵

(3) (4)

6.已知函数 ，求函数 ， 的解析式

7.已知函数 满足 ，则 = 。

8.设 是R上的奇函数，且当 时, ,则当 时 =

在R上的解析式为

9.求下列函数的单调区间：

⑴ ⑵ ⑶

10.判断函数 的单调性并证明你的结论．

11.设函数 判断它的奇偶性并且求证： ．

第二章 基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根，其中 >1，且 ∈ *．

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作 。

当 是奇数时， ，当 是偶数时，

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

，

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

（1） · ；

（2） ；

（3） ．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

2、指数函数的图象和性质

a>1
0<a<1

定义域 R
定义域 R

值域y＞0
值域y＞0

在R上单调递增
在R上单调递减

非奇非偶函数
非奇非偶函数

函数图象都过定点（0，1）
函数图象都过定点（0，1）

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上， 值域是 或 ；
（2）若 ，则 ； 取遍所有正数当且仅当 ；
（3）对于指数函数 ，总有 ；

二、对数函数

（一）对数

1．对数的概念：一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作： （ — 底数， — 真数， — 对数式）

说明：1 注意底数的限制 ，且 ；

2 ；

3 注意对数的书写格式．

两个重要对数：

1 常用对数：以10为底的对数 ；

2 自然对数：以无理数 为底的对数的对数 ．

指数式与对数式的互化

幂值 真数

＝ N ＝ b

底数

指数 对数

（二）对数的运算性质

如果 ，且 ， ， ，那么：

1 · ＋ ；

2 － ；

3 ．

注意：换底公式

（ ，且 ； ，且 ； ）．

利用换底公式推导下面的结论

（1） ；（2） ．

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数 ，且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如： ， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

2 对数函数对底数的限制： ，且 ．

2、对数函数的性质：

a>1
0<a<1

定义域x＞0
定义域x＞0

值域为R
值域为R

在R上递增
在R上递减

函数图象都过定点（1，0）
函数图象都过定点（1，0）

（三）幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

（2） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数．特别地，当 时，幂函数的图象下凸；当 时，幂函数的图象上凸；

（3） 时，幂函数的图象在区间 上是减函数．在第一象限内，当 从右边趋向原点时，图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴．

例题：

1. 已知a>0，a 0，函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是 ( )

2.计算： ① ;② = ； = ;

③ =

3.函数y=log (2x2-3x+1)的递减区间为

4.若函数 在区间 上的最大值是最小值的3倍，则a=

5.已知 ，（1）求 的定义域（2）求使 的 的取值范围

第三章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点。

2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。

即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．

3、函数零点的求法：

1 （代数法）求方程 的实数根；

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4、二次函数的零点：

二次函数 ．

（1）△＞0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝0，方程 有两相等实根，二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点．

5.函数的模型

收集数据

画散点图

选择函数模型

求函数模型

用函数模型解释实际问题

符合实际

高中高一数学必修1各章知识点总结

第一章 集合与函数概念

一、集合有关概念

1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：

1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性

说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

？”石头听了，感谢不尽。那僧便念咒书符，大展幻术，将一
块大石登时变成一块鲜明莹洁的美玉，且又缩成扇坠大小的可
佩可拿。那僧托于掌上，笑道：“形体倒也是个宝物了！还只
没有实在的好处，须得再镌上数字，使人一见便知是奇物方妙
。然后携你到那昌明隆盛之邦，诗礼簪缨之族，花柳繁华地，
温柔富贵乡去安身乐业。”石头听了，喜不能禁，乃问：“不
知赐了弟子那几件奇处，又不知携了弟子到何地方？望乞明示
，使弟子不惑。”那僧笑道：“你且莫问，日后自然明白的说
着，便袖了这石，同那道人飘然而去，竟不知投奔何方何舍。
后来，又不知过了几世几劫，因有个空空道人访道求仙，忽从
这大荒山无稽崖青埂峰下经过，忽见一大块石上字迹分明，编
述历历。空空道人乃从头一看，原来就是无材补天，幻形入世
蒙茫茫大士渺渺真人携入红尘，历尽离合悲欢炎凉世态的一段
此系身前身后事，倩谁记去作奇传？诗后便是此石坠落之乡投
胎之处，亲自经历的一段陈迹故事。其中家庭闺阁琐事，以及
闲情诗词倒还全备，或可适趣解闷，然朝代年纪、地舆邦国反
空空道人遂向石头说道：“石兄，你这一段故事，据你自己说
有些趣味，故编写在此，意欲问世传奇。据我看来，第一件，
无朝代年纪可考；第二件，并无大贤大忠理朝廷治风俗的善政
，其中只不过几个异样女子，或情或痴，或小才微善，亦无班
姑蔡女之德能。我纵抄去，恐世人不爱看呢。”石头笑答道：
“我师何太痴耶！若云无朝代可考，今我师竟假借汉唐等年纪
添缀，又有何难？但我想，历来野史，皆蹈一辙，莫如我这不
此套者，反倒新奇别致，不过只取其事体情理罢了，又何必拘
拘于朝代年纪哉！再者，市井俗人喜看理治之书者甚少，爱适
趣闲文者特多。历来野史，或讪谤君相，或贬人妻女，奸淫凶
恶，不可胜数。更有一种风月笔墨，其淫秽污臭，屠毒笔墨，
坏人子弟，又不可胜数。至若佳人才子等书，则又千部共出一
套，且其中终不能不涉于淫滥，以致满纸潘安、子建、西子
君、不过作者要写出自己的那两首情诗艳赋来，故假拟出男女
二人名姓，又必旁出一小人其间拨乱，亦如剧中之小丑然。且
鬟婢开口即者也之乎，非文即理。故逐一看去，悉皆自相矛盾
，大不近情理之话，竟不如我半世亲睹亲闻的这几个女子，虽
不敢说强似前代书中所有之人，但事迹原委，亦可以消愁破闷
；也有几首歪诗熟话，可以喷饭供酒。至若离合悲欢，兴衰际
遇，则又追踪蹑迹，不敢稍加穿凿，徒为供人之目而反失其真
传者。今之人，贫者日为衣食所累，富者又怀不足之心，纵然
一时稍闲，又有贪淫恋色，好货寻愁之事，那里去有工夫看那
理治之书？所以我这一段故事，也不愿世人称奇道妙，也不定
要世人喜悦检读，只愿他们当那醉淫饱卧之时，或避事去愁之
际，把此一玩，岂不省了些寿命筋力？就比那谋虚逐妄，却也
省了口舌是非之害，腿脚奔忙之苦。再者，亦令世人换新眼目
不比那些胡牵乱扯，忽离忽遇，满纸才人淑女、子建文君红娘
空空道人听如此说，思忖半晌，将《石头记》再检阅一遍，因
见上面虽有些指奸责佞贬恶诛邪之语，亦非伤时骂世之旨；及
至君仁臣良父慈子孝，凡伦常所关之处，皆是称功颂德，眷眷
无穷，实非别书之可比。虽其中大旨谈情，亦不过实录其事，
又非假拟妄称，一味淫邀艳约、私订偷盟之可比。因毫不干涉
时世，方从头至尾抄录回来，问世传奇。从此空空道人因空见
色，由色生情，传情入色，自色悟空，遂易名为情僧，改《石
头记》为《情僧录》。东鲁孔梅溪则题曰《风月宝鉴》。后因
曹雪芹于悼红轩中披阅十载，增删五次，纂成目录，分出章回
当日地陷东南，这东南一隅有处曰姑苏，有城曰阊门者，最是
红尘中一二等富贵风流之地。这阊门外有个十里街，街内有个
仁清巷，巷内有个古庙，因地方窄狭，人皆呼作葫芦庙。庙旁
住着一家乡宦，姓甄，名费，字士隐。嫡妻封氏，情性贤淑，
深明礼义。家中虽不甚富贵，然本地便也推他为望族了。因这