求函数f(x)=x^2ln(1+x)在x=0处的n阶导数（n≥3)，过程要详细

如题所述

这个直接展开成x的多项式形式。先用泰勒公式展开ln(1+x)=((-1)^n)*(1/n)*x^n，把x^2乘进去即可。即f(x)=x^2ln(1+x)=((-1)^n)*(1/n)*x^n+2。

之所以是f(x)的n阶导是因为 f(x)是可以展开成上面那个关于x的级数的多项式，其中这个多项式的第n项必然为这个函数的n阶导数，因为前面低于n阶的都在求导时为0了。

求f(x)的n阶导数时需要知道泰勒展开的n次项的系数，因为前面有x^2，后面就展开到n-2次以凑出x^n。另外(-1)^(n-3)=(-1)^(n-1)，两写法没什么不同。

导数

是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。