例1
把2x^2-7x+3分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)：2＝1×2＝2×1；分解常数项：3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：11╳231×3+2×1=513╳211×1+2×3=71-1╳2-31×(-3)+2×(-1)=-51-3╳2-11×(-1)+2×(-3)=-7经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1).一般地，对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：a1c1?╳a2c2a1c2+a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.
例2
把6x^2-7x-5分解因式.分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种21╳3-52×(-5)+3×1=-7是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.解6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5)指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+2x-15分解因式，十字相乘法是1-3╳151×5+1×(-3)=2所以x^2+2x-15=(x-3)(x+5).
例3
把5x^2+6xy-8y^2分解因式.分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y^2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即12?╳5-41×(-4)+5×2=6解5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y).指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.
例4
把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.解(x-y)(2x-2y-3)-2=(x-y)[2(x-y)-3]-2=2(x-y)^2-3(x-y)-21-2╳211×1+2×(-2)=－3=[(x-y)-2][2(x-y)+1]=(x-y-2)(2x-2y+1).指出：把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.
例5
x^2+2x-15分析：常数项(-15)<0，可分解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3)(-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。=(x-3)(x+5)总结：①x^2＋（p+q）x＋pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2＋(p+q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m时，那么kx^2＋mx＋n＝(ax+b)(cx+d)ab╳cd
把2x^2-7x+3分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)：2＝1×2＝2×1；分解常数项：3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：11╳231×3+2×1=513╳211×1+2×3=71-1╳2-31×(-3)+2×(-1)=-51-3╳2-11×(-1)+2×(-3)=-7经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1).一般地，对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：a1c1?╳a2c2a1c2+a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.
例2
把6x^2-7x-5分解因式.分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种21╳3-52×(-5)+3×1=-7是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.解6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5)指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+2x-15分解因式，十字相乘法是1-3╳151×5+1×(-3)=2所以x^2+2x-15=(x-3)(x+5).
例3
把5x^2+6xy-8y^2分解因式.分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y^2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即12?╳5-41×(-4)+5×2=6解5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y).指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.
例4
把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.解(x-y)(2x-2y-3)-2=(x-y)[2(x-y)-3]-2=2(x-y)^2-3(x-y)-21-2╳211×1+2×(-2)=－3=[(x-y)-2][2(x-y)+1]=(x-y-2)(2x-2y+1).指出：把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.
例5
x^2+2x-15分析：常数项(-15)<0，可分解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3)(-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。=(x-3)(x+5)总结：①x^2＋（p+q）x＋pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2＋(p+q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m时，那么kx^2＋mx＋n＝(ax+b)(cx+d)ab╳cd
温馨提示：内容为网友见解，仅供参考
第1个回答 2011-07-07
请仔细琢磨、推敲、理解公式：﹙x＋a﹚﹙x＋b﹚＝x²＋﹙a＋b﹚x＋ab.
只要这个公式理解了，十字相乘法分解因式解很容易解决了。本回答被提问者采纳
只要这个公式理解了，十字相乘法分解因式解很容易解决了。本回答被提问者采纳
第2个回答 2011-07-07
十字相乘法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1.a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1乘c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
基本式子：x^2+（p+q)χ+pq=(χ+p)(χ+q)所谓十字相乘法,就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.
基本式子：x^2+（p+q)χ+pq=(χ+p)(χ+q)所谓十字相乘法,就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.
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