利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。解题过程如下：
解：因为（n+1）^3=n^3+3n^2+3n+1
则（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1
n^3-（n-1）^3=3（n-1）^2+3（n-1）+1
............
3^3-2^3=3*2^3+3*2+1
2^3-1^3=3*1^3+3*1+1
把等式两边同时求和得，
（n+1）^3-1^3
=（3n^2+3（n-1）^2+......+3*2^2+3*1^2）+（3n+3（n-1）+......+3*2+3*1）+n
=3（n^2+（n-1）^2+......+2^2+1^2）+3（n+（n-1）+......+2+1）+n
=3（n^2+（n-1）^2+......+2^2+1^2）+3*n（n+1）/2+n
即，n^3+3n^2+3n=3（n^2+（n-1）^2+......+2^2+1^2）+3*n（n+1）/2+n
整理得，n^2+（n-1）^2+......+2^2+1^2=n(n+1)(2n+1)/6
即，1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
扩展资料：
数列求和的方法
1、公式法
（1）等差数列求和公式：Sn=1/2*n（a1+an）=d/2*n+（a1-d/2）*n
（2）等比数列求和公式：Sn=na1（q=1）、Sn=a1*（1-q^n）/（1-q）（q≠1）
（3）自然数求和公式：（1+2+3+...+n）=n(n+1)/2
2、错位相减法
3、倒序相加法
4、分组法
5、裂项相消法
（1）1/（n*（n+1））=1/n-1/（n+1）
（2）1/（（2n-1）*（2n+1））=1/2（1/（2n-1）-1/（2n+1））
参考资料来源：百度百科-数列求和
参考资料来源：百度百科-平方和公式
证明:
由两数立方和公式:
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
(n-1)^3-(n-2)^3=3(n-1)^2+3(n-2)+1
……………………………………
3^3 -2^3=3*2^2 +3*2 +1
2^3 -1^3=3*1^3 +3*1 +1^3
以上等式的两边分别相加得到
(n+1)^3-1^3=3(1^2+2^2+3^2+……+n^2)
+3(1+2+3+……+n)
+(1+1+1+……+1)
∴3(1^2+2^2+3^2+……+n^2)=(n+1)^3-1-3n(n+1)/2-n
=(n+1)(n^2+2n-3n/2-n)
=(n+1)n(n+1/2)
=n(n+1)(2n+1)/2.
∴1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6.
不能用等差，等比数列解
和立方公式(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3a*b^2+b^3
怎么证明1^2+2^2+3^2+……+n^2的求和公式?
=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+.+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]\/3 前后消项：=[n(n+1)(n+2)]\/3 所以1^2+2^2+3^2+.+n^2 =[n(n+1)(n+2)]\/3-[n(n+1)]\/2 =n(n+1)[(n+2)\/3-1\/2]=n(n+1)[(2n+1)\/6]=n(n+1)(2n+1)\/6 ...
1^2+2^2+3^2+… n^2等于多少?
1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2的结果等于 n * (n + 1) * (2n + 1) \/ 6。
1^2+2^2+3^2+………+n^2怎么算
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)\/6。解题过程如下：解：因为（n+1）^3=n^3+3n^2+3n+1 则（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1 n^3-（n-1）^3=3（n-1）^2+3（n-1）+1 ...3^3-2^3=3*2^3+3*2+1 2^3-1^3=3*1^3+3*1+1 把等式两边同时求和得，（n+1...
1^2+2^2+3^2+……+n^2等于多少
＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]\/6 ＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）\/6 ＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]\/6 也满足公式 4、综上所述，平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)\/6成立，得证。证法二（利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1）：(n+1)^3-...
1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2 的计算公式是什么
1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2 的计算公式是n*(n+1)*(2n+1)\/6。解：1、因为当n=1时，1^2=1=1*(1+1)*(2x1+1)\/6=1，2、当n=2时，1^2+2^2=5=2*(2+1)*(2x2+1)\/6=5，3、设n=k（k≥2，k为正数）时，1^2+2^2+3^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)\/6成...
1∧2+2∧2+3∧2+...n∧2等于多少?
解：因为a^2+b^2=a(a+b)-b(a-b)令S=1∧2+2∧2+3∧2+...+n∧2，则S=1x1+2x2+3x3+...+nxn =1x(2-1)+2x(3-1)+3(4-1)+...+n(n+1-1)=1x2+2x3+3x4+...+nx(n+1)-(1+2+3+...+n)又因为nx(n+1)=1\/3((nx(n+1)x(n+2)-(n-1)xnx(n+1))所以...
1^2+2^2+3^2+……+n^2等于啥?要过程 谢谢谢谢谢谢!
=n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+.....
1^2+2^2+3^2+……+n^2等于多少?要求有推导过程
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)\/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]=n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...n^3-(n-1)^3=2...
1^2+2^2+3^2+4^2+……+n^2 怎么算
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2………+n^2=n(n+1)(2n+1)\/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]=n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 .n^3-(n...
如何推导1^2+2^2+……+n^2的公式
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)\/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]=n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...n^3-(n-1)^3=2...
