什么是数学？这是任何一个数学教育工作者都应认真思考的问题。只有对数学的本质特征有比较清晰的认识，才能在数学教育研究中把握正确的方向.
1.数学，其英文是mathematics，这是一个复数名词，“数学曾经是四门学科：算术、几何、天文学和音乐，处于一种比语法、修辞和辩证法这三门学科更高的地位。”自古以来，多数人把数学看成是一种知识体系，是经过严密的逻辑推理而形成的系统化的理论知识总和，它既反映了人们对“现实世界的空间形式和数量关系”的认识，又反映了人们对“可能的量的关系和形式”的认识。数学既可以来自现实世界的直接抽象，也可以来自人类思维的能动创造。
2.从人类社会的发展史看，人们对数学本质特征的认识在不断变化和深化。“数学的根源在于普通的常识，最显著的例子是非负整数。"欧几里德的算术来源于普通常识中的非负整数，而且直到19世纪中叶，对于数的科学探索还停留在普通的常识，”另一个例子是几何中的相似性，“在个体发展中几何学甚至先于算术”，其“最早的征兆之一是相似性的知识，”相似性知识被发现得如此之早，“就象是大生的。”因此，19世纪以前，人们普遍认为数学是一门自然科学、经验科学，因为那时的数学与现实之间的联系非常密切，随着数学研究的不断深入，从19世纪中叶以后，数学是一门演绎科学的观点逐渐占据主导地位，这种观点在布尔巴基学派的研究中得到发展，他们认为数学是研究结构的科学，一切数学都建立在代数结构、序结构和拓扑结构这三种母结构之上。与这种观点相对应，从古希腊的柏拉图开始，许多人认为数学是研究模式的学问，数学家怀特海（A. N. Whiiehead，186----1947）在《数学与善》中说，“数学的本质特征就是：在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究，”数学对于理解模式和分析模式之间的关系，是最强有力的技术。”1931年，歌德尔（K，G0de1，1978）不完全性定理的证明，宣告了公理化逻辑演绎系统中存在的缺憾，这样，人们又想到了数学是经验科学的观点，著名数学家冯·诺伊曼就认为，数学兼有演绎科学和经验科学两种特性。
3.对于上述关于数学本质特征的看法，我们应当以历史的眼光来分析，实际上，对数本质特征的认识是随数学的发展而发展的。由于数学源于分配物品、计算时间、丈量土地和容积等实践，因而这时的数学对象（作为抽象思维的产物）与客观实在是非常接近的，人们能够很容易地找到数学概念的现实原型，这样，人们自然地认为数学是一种经验科学；随着数学研究的深入，非欧几何、抽象代数和集合论等的产生，特别是现代数学向抽象、多元、高维发展，人们的注意力集中在这些抽象对象上，数学与现实之间的距离越来越远，而且数学证明（作为一种演绎推理）在数学研究中占据了重要地位，因此，出现了认为数学是人类思维的自由创造物，是研究量的关系的科学，是研究抽象结构的理论，是关于模式的学问，等等观点。这些认识，既反映了人们对数学理解的深化，也是人们从不同侧面对数学进行认识的结果。正如有人所说的，“恩格斯的关于数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的提法与布尔巴基的结构观点是不矛盾的，前者反映了数学的来源，后者反映了现代数学的水平，现代数学是一座由一系列抽象结构建成的大厦。”而关于数学是研究模式的学问的说法，则是从数学的抽象过程和抽象水平的角度对数学本质特征的阐释，另外，从思想根源上来看，人们之所以把数学看成是演绎科学、研究结构的科学，是基于人类对数学推理的必然性、准确性的那种与生俱来的信念，是对人类自身理性的能力、根源和力量的信心的集中体现，因此人们认为，发展数学理论的这套方法，即从不证自明的公理出发进行演绎推理，是绝对可靠的，也即如果公理是真的，那么由它演绎出来的结论也一定是真的，通过应用这些看起来清晰、正确、完美的逻辑，数学家们得出的结论显然是毋庸置疑的、无可辩驳的。
4.事实上，上述对数学本质特征的认识是从数学的来源、存在方式、抽象水平等方面进行的，并且主要是从数学研究的结果来看数学的本质特征的。显然，结果（作为一种理论的演绎体系）并不能反映数学的全貌，组成数学整体的另一个非常重要的方面是数学研究的过程，而且从总体上来说，数学是一个动态的过程，是一个“思维的实验过程”，是数学真理的抽象概括过程。逻辑演绎体系则是这个过程的一种自然结果。在数学研究的过程中，数学对象的丰富、生动且富于变化的一面才得以充分展示。波利亚（G. Poliva，1888一1985）认为，“数学有两个侧面，它是欧几里德式的严谨科学，但也是别的什么东西。由欧几里德方法提出来的数学看来象是一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学。”弗赖登塔尔说，“数学是一种相当特殊的活动，这种观点“是区别于数学作为印在书上和铭，记在脑子里的东西。”他认为，数学家或者数学教科书喜欢把数学表示成“一种组织得很好的状态，”也即“数学的形式”是数学家将数学（活动）内容经过自己的组织（活动）而形成的；但对大多数人来说，他们是把数学当成一种工具，他们不能没有数学是因为他们需要应用数学，这就是，对于大众来说，是要通过数学的形式来学习数学的内容，从而学会相应的（应用数学的）活动。这大概就是弗赖登塔尔所说的“数学是在内容和形式的互相影响之中的一种发现和组织的活动”的含义。菲茨拜因（Efraim Fischbein）说，“数学家的理想是要获得严谨的、条理清楚的、具有逻辑结构的知识实体，这一事实并不排除必须将数学看成是个创造性过程：数学本质上是人类活动，数学是由人类发明的，”数学活动由形式的、算法的与直觉的等三个基本成分之间的相互作用构成。库朗和罗宾逊（Courani Robbins）也说，“数学是人类意志的表达，反映积极的意愿、深思熟虑的推理，以及精美而完善的愿望，它的基本要素是逻辑与直觉、分析与构造、一般性与个别性。虽然不同的传统可能强调不同的侧面，但只有这些对立势力的相互作用，以及为它们的综合所作的奋斗，才构成数学科学的生命、效用与高度的价值。”
5.另外，对数学还有一些更加广义的理解。如，有人认为，“数学是一种文化体系”，“数学是一种语言”，数学活动是社会性的，它是在人类文明发展的历史进程中，人类认识自然、适应和改造自然、完善自我与社会的一种高度智慧的结晶。数学对人类的思维方式产生了关键性的影响．也有人认为，数学是一门艺术，“和把数学看作一门学科相比，我几乎更喜欢把它看作一门艺术，因为数学家在理性世界指导下（虽然不是控制下）所表现出的经久的创造性活动，具有和艺术家的，例如画家的活动相似之处，这是真实的而并非臆造的。数学家的严格的演绎推理在这里可以比作专门注技巧。就像一个人若不具备一定量的技能就不能成为画家一样，不具备一定水平的精确推理能力就不能成为数学家，这些品质是最基本的，……，它与其它一些要微妙得多的品质共同构成一个优秀的艺术家或优秀的数学家的素质，其中最主要的一条在两种情况下都是想象力。”“数学是推理的音乐，”而“音乐是形象的数学”．这是从数学研究的过程和数学家应具备的品质来论述数学的本质，还有人把数学看成是一种对待事物的基本态度和方法，一种精神和观念，即数学精神、数学观念和态度。尼斯（Mogens Niss）等在《社会中的数学》一文中认为，数学是一门学科，“在认识论的意义上它是一门科学，目标是要建立、描述和理解某些领域中的对象、现象、关系和机制等。如果这个领域是由我们通常认为的数学实体所构成的，数学就扮演着纯粹科学的角色。在这种情况下，数学以内在的自我发展和自我理解为目标，独立于外部世界，…，另一方面，如果所考虑的领域存在于数学之外，…，数学就起着用科学的作用…·，数学的这两个侧面之间的差异并非数学内容本身的问题，而是人们所关注的焦点不同。无论是纯粹的还是应用的，作为科学的数学有助于产生知识和洞察力。数学也是一个工具、产品以及过程构成的系统，它有助于我们作出与掌握数学以外的实践领域有关的决定和行动…·，数学是美学的一个领域，能为许多醉心其中的人们提供对美感、愉悦和激动的体验…·，作为一门学科，数学的传播和发展都要求它能被新一代的人们所掌握。数学的学习不会同时而自动地进行，需要靠人来传授，所以，数学也是我们社会的教育体系中的一个教学科目．”
从上所述可以看出，人们是从数学内部（又从数学的内容、表现形式及研究过程等几个角度）。数学与社会的关系、数学与其它学科的关系、数学与人的发展的关系等几个方面来讨论数学的性质的。它们都从一个侧面反映了数学的本质特征，为我们全面认识数学的性质提供了一个视角。
6.基于对数学本质特征的上述认识，人们也从不同侧面讨论了数学的具体特点。比较普遍的观点是，数学有抽象性、精确性和应用的广泛性等特点，其中最本质的特点是抽象性。A，。亚历山大洛夫说，“甚至对数学只有很肤浅的知识就能容易地觉察到数学的这些特点：第一是它的抽象性，第二是精确性，或者更好他说是逻辑的严格性以及它的结论的确定性，最后是它的应用的极端广泛、性，”「5」王粹坤说，“数学的特点是：内容的抽象性、应用的广泛性、推理的严谨性和结论的明确必”这种看法主要从数学的内容、表现形式和数学的作用等方面来理解数学的特点，是数学特点的一个方面。另外，从数学研究的过程方面、数学与其它学科之间的关系方面来看，数学还有形象性、似真性、拟经验性。“可证伪性”的特点。对数学特点的认识也是有时代特征的，例如，关于数学的严谨性，在各个数学历史发展时期有不同的标准，从欧氏几何到罗巴切夫斯基几何再到希尔伯特公理体系，关于严谨性的评价标准有很大差异，尤其是哥德尔提出并证明了“不完备性定理…以后，人们发现即使是公理化这一曾经被极度推崇的严谨的科学方法也是有缺陷的。因此，数学的严谨性是在数学发展历史中表现出来的，具有相对性。关于数学的似真性，波利亚在他的《数学与猜想》中指出，“数学被人看作是一门论证科学。然而这仅仅是它的一个方面，以最后确定的形式出现的定型的数学，好像是仅含证明的纯论证性的材料，然而，数学的创造过程是与任何其它知识的创造过程一样的，在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全作出详细证明之前，你先得推测证明的思路，你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比．你得一次又一次地进行尝试。数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜测、合情推理占有适当的位置。”正是从这个角度，我们说数学的确定性是相对的，有条件的，对数学的形象性、似真性、拟经验性。“可证伪性”特点的强调，实际上是突出了数学研究中观察、实验、分析。比较、类比、归纳、联想等思维过程的重要性。
综上所述，对数学本质特征的认识是发展的。变化的，用历史的、发展的观点来看待数学的本质特征，恩格斯的“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”的论断并不过时，对初等数学来说就更是如此，当然，对“空间形式和数量关系”的内涵，我们应当作适当的拓展和深化。顺便指出，对数学本质特征的讨论中，采取现象与本质并重、过程与结果并重、形式与内容并重的观点：，对数学教学具有重要的指导意义。
数学可以分成两大类，一类叫纯粹数学，一类叫应用 数学。
1.数学，其英文是mathematics，这是一个复数名词，“数学曾经是四门学科：算术、几何、天文学和音乐，处于一种比语法、修辞和辩证法这三门学科更高的地位。”自古以来，多数人把数学看成是一种知识体系，是经过严密的逻辑推理而形成的系统化的理论知识总和，它既反映了人们对“现实世界的空间形式和数量关系”的认识，又反映了人们对“可能的量的关系和形式”的认识。数学既可以来自现实世界的直接抽象，也可以来自人类思维的能动创造。
2.从人类社会的发展史看，人们对数学本质特征的认识在不断变化和深化。“数学的根源在于普通的常识，最显著的例子是非负整数。"欧几里德的算术来源于普通常识中的非负整数，而且直到19世纪中叶，对于数的科学探索还停留在普通的常识，”另一个例子是几何中的相似性，“在个体发展中几何学甚至先于算术”，其“最早的征兆之一是相似性的知识，”相似性知识被发现得如此之早，“就象是大生的。”因此，19世纪以前，人们普遍认为数学是一门自然科学、经验科学，因为那时的数学与现实之间的联系非常密切，随着数学研究的不断深入，从19世纪中叶以后，数学是一门演绎科学的观点逐渐占据主导地位，这种观点在布尔巴基学派的研究中得到发展，他们认为数学是研究结构的科学，一切数学都建立在代数结构、序结构和拓扑结构这三种母结构之上。与这种观点相对应，从古希腊的柏拉图开始，许多人认为数学是研究模式的学问，数学家怀特海（A. N. Whiiehead，186----1947）在《数学与善》中说，“数学的本质特征就是：在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究，”数学对于理解模式和分析模式之间的关系，是最强有力的技术。”1931年，歌德尔（K，G0de1，1978）不完全性定理的证明，宣告了公理化逻辑演绎系统中存在的缺憾，这样，人们又想到了数学是经验科学的观点，著名数学家冯·诺伊曼就认为，数学兼有演绎科学和经验科学两种特性。
3.对于上述关于数学本质特征的看法，我们应当以历史的眼光来分析，实际上，对数本质特征的认识是随数学的发展而发展的。由于数学源于分配物品、计算时间、丈量土地和容积等实践，因而这时的数学对象（作为抽象思维的产物）与客观实在是非常接近的，人们能够很容易地找到数学概念的现实原型，这样，人们自然地认为数学是一种经验科学；随着数学研究的深入，非欧几何、抽象代数和集合论等的产生，特别是现代数学向抽象、多元、高维发展，人们的注意力集中在这些抽象对象上，数学与现实之间的距离越来越远，而且数学证明（作为一种演绎推理）在数学研究中占据了重要地位，因此，出现了认为数学是人类思维的自由创造物，是研究量的关系的科学，是研究抽象结构的理论，是关于模式的学问，等等观点。这些认识，既反映了人们对数学理解的深化，也是人们从不同侧面对数学进行认识的结果。正如有人所说的，“恩格斯的关于数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的提法与布尔巴基的结构观点是不矛盾的，前者反映了数学的来源，后者反映了现代数学的水平，现代数学是一座由一系列抽象结构建成的大厦。”而关于数学是研究模式的学问的说法，则是从数学的抽象过程和抽象水平的角度对数学本质特征的阐释，另外，从思想根源上来看，人们之所以把数学看成是演绎科学、研究结构的科学，是基于人类对数学推理的必然性、准确性的那种与生俱来的信念，是对人类自身理性的能力、根源和力量的信心的集中体现，因此人们认为，发展数学理论的这套方法，即从不证自明的公理出发进行演绎推理，是绝对可靠的，也即如果公理是真的，那么由它演绎出来的结论也一定是真的，通过应用这些看起来清晰、正确、完美的逻辑，数学家们得出的结论显然是毋庸置疑的、无可辩驳的。
4.事实上，上述对数学本质特征的认识是从数学的来源、存在方式、抽象水平等方面进行的，并且主要是从数学研究的结果来看数学的本质特征的。显然，结果（作为一种理论的演绎体系）并不能反映数学的全貌，组成数学整体的另一个非常重要的方面是数学研究的过程，而且从总体上来说，数学是一个动态的过程，是一个“思维的实验过程”，是数学真理的抽象概括过程。逻辑演绎体系则是这个过程的一种自然结果。在数学研究的过程中，数学对象的丰富、生动且富于变化的一面才得以充分展示。波利亚（G. Poliva，1888一1985）认为，“数学有两个侧面，它是欧几里德式的严谨科学，但也是别的什么东西。由欧几里德方法提出来的数学看来象是一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学。”弗赖登塔尔说，“数学是一种相当特殊的活动，这种观点“是区别于数学作为印在书上和铭，记在脑子里的东西。”他认为，数学家或者数学教科书喜欢把数学表示成“一种组织得很好的状态，”也即“数学的形式”是数学家将数学（活动）内容经过自己的组织（活动）而形成的；但对大多数人来说，他们是把数学当成一种工具，他们不能没有数学是因为他们需要应用数学，这就是，对于大众来说，是要通过数学的形式来学习数学的内容，从而学会相应的（应用数学的）活动。这大概就是弗赖登塔尔所说的“数学是在内容和形式的互相影响之中的一种发现和组织的活动”的含义。菲茨拜因（Efraim Fischbein）说，“数学家的理想是要获得严谨的、条理清楚的、具有逻辑结构的知识实体，这一事实并不排除必须将数学看成是个创造性过程：数学本质上是人类活动，数学是由人类发明的，”数学活动由形式的、算法的与直觉的等三个基本成分之间的相互作用构成。库朗和罗宾逊（Courani Robbins）也说，“数学是人类意志的表达，反映积极的意愿、深思熟虑的推理，以及精美而完善的愿望，它的基本要素是逻辑与直觉、分析与构造、一般性与个别性。虽然不同的传统可能强调不同的侧面，但只有这些对立势力的相互作用，以及为它们的综合所作的奋斗，才构成数学科学的生命、效用与高度的价值。”
5.另外，对数学还有一些更加广义的理解。如，有人认为，“数学是一种文化体系”，“数学是一种语言”，数学活动是社会性的，它是在人类文明发展的历史进程中，人类认识自然、适应和改造自然、完善自我与社会的一种高度智慧的结晶。数学对人类的思维方式产生了关键性的影响．也有人认为，数学是一门艺术，“和把数学看作一门学科相比，我几乎更喜欢把它看作一门艺术，因为数学家在理性世界指导下（虽然不是控制下）所表现出的经久的创造性活动，具有和艺术家的，例如画家的活动相似之处，这是真实的而并非臆造的。数学家的严格的演绎推理在这里可以比作专门注技巧。就像一个人若不具备一定量的技能就不能成为画家一样，不具备一定水平的精确推理能力就不能成为数学家，这些品质是最基本的，……，它与其它一些要微妙得多的品质共同构成一个优秀的艺术家或优秀的数学家的素质，其中最主要的一条在两种情况下都是想象力。”“数学是推理的音乐，”而“音乐是形象的数学”．这是从数学研究的过程和数学家应具备的品质来论述数学的本质，还有人把数学看成是一种对待事物的基本态度和方法，一种精神和观念，即数学精神、数学观念和态度。尼斯（Mogens Niss）等在《社会中的数学》一文中认为，数学是一门学科，“在认识论的意义上它是一门科学，目标是要建立、描述和理解某些领域中的对象、现象、关系和机制等。如果这个领域是由我们通常认为的数学实体所构成的，数学就扮演着纯粹科学的角色。在这种情况下，数学以内在的自我发展和自我理解为目标，独立于外部世界，…，另一方面，如果所考虑的领域存在于数学之外，…，数学就起着用科学的作用…·，数学的这两个侧面之间的差异并非数学内容本身的问题，而是人们所关注的焦点不同。无论是纯粹的还是应用的，作为科学的数学有助于产生知识和洞察力。数学也是一个工具、产品以及过程构成的系统，它有助于我们作出与掌握数学以外的实践领域有关的决定和行动…·，数学是美学的一个领域，能为许多醉心其中的人们提供对美感、愉悦和激动的体验…·，作为一门学科，数学的传播和发展都要求它能被新一代的人们所掌握。数学的学习不会同时而自动地进行，需要靠人来传授，所以，数学也是我们社会的教育体系中的一个教学科目．”
从上所述可以看出，人们是从数学内部（又从数学的内容、表现形式及研究过程等几个角度）。数学与社会的关系、数学与其它学科的关系、数学与人的发展的关系等几个方面来讨论数学的性质的。它们都从一个侧面反映了数学的本质特征，为我们全面认识数学的性质提供了一个视角。
6.基于对数学本质特征的上述认识，人们也从不同侧面讨论了数学的具体特点。比较普遍的观点是，数学有抽象性、精确性和应用的广泛性等特点，其中最本质的特点是抽象性。A，。亚历山大洛夫说，“甚至对数学只有很肤浅的知识就能容易地觉察到数学的这些特点：第一是它的抽象性，第二是精确性，或者更好他说是逻辑的严格性以及它的结论的确定性，最后是它的应用的极端广泛、性，”「5」王粹坤说，“数学的特点是：内容的抽象性、应用的广泛性、推理的严谨性和结论的明确必”这种看法主要从数学的内容、表现形式和数学的作用等方面来理解数学的特点，是数学特点的一个方面。另外，从数学研究的过程方面、数学与其它学科之间的关系方面来看，数学还有形象性、似真性、拟经验性。“可证伪性”的特点。对数学特点的认识也是有时代特征的，例如，关于数学的严谨性，在各个数学历史发展时期有不同的标准，从欧氏几何到罗巴切夫斯基几何再到希尔伯特公理体系，关于严谨性的评价标准有很大差异，尤其是哥德尔提出并证明了“不完备性定理…以后，人们发现即使是公理化这一曾经被极度推崇的严谨的科学方法也是有缺陷的。因此，数学的严谨性是在数学发展历史中表现出来的，具有相对性。关于数学的似真性，波利亚在他的《数学与猜想》中指出，“数学被人看作是一门论证科学。然而这仅仅是它的一个方面，以最后确定的形式出现的定型的数学，好像是仅含证明的纯论证性的材料，然而，数学的创造过程是与任何其它知识的创造过程一样的，在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全作出详细证明之前，你先得推测证明的思路，你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比．你得一次又一次地进行尝试。数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜测、合情推理占有适当的位置。”正是从这个角度，我们说数学的确定性是相对的，有条件的，对数学的形象性、似真性、拟经验性。“可证伪性”特点的强调，实际上是突出了数学研究中观察、实验、分析。比较、类比、归纳、联想等思维过程的重要性。
综上所述，对数学本质特征的认识是发展的。变化的，用历史的、发展的观点来看待数学的本质特征，恩格斯的“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”的论断并不过时，对初等数学来说就更是如此，当然，对“空间形式和数量关系”的内涵，我们应当作适当的拓展和深化。顺便指出，对数学本质特征的讨论中，采取现象与本质并重、过程与结果并重、形式与内容并重的观点：，对数学教学具有重要的指导意义。
数学可以分成两大类，一类叫纯粹数学，一类叫应用 数学。
温馨提示：内容为网友见解，仅供参考
第1个回答 2007-05-05
数学是什么--兼谈几何画板
北京师范大学未来教育研究中心主任 桑新民
（1997年5月，桑新民教授参加全国中小学计算机教育研究中心为北京市老师组织的《几何画板》讨论组，并发表了即兴演讲。本稿是根据录像整理，并经桑新民教授的修改而来的。在此对桑新民教授表示感谢！）
提到数学的本质，就涉及到数学和物理、化学这些经验科学的关系。过去对数学的本质理解存在不少偏颇，认为数学是：世界的数量关系与空间关系的抽象。但实际上，这个定义是在用机械反应论的观点来定义数学的。这样一来，数学和物理就无法区别，因为物理也是对客体的反映。
对于这个问题，皮亚杰的研究有一个突破。他区分了两种经验，一种叫物理经验，一种叫数学逻辑经验。物理经验不光指物理学，所有的经验科学都属于物理经验，包括化学这类科学。物理经验是对客体的抽象，而数学逻辑经验呢，自然界里没有。自然界没有数学！数学是什么？数学逻辑经验是对人的活动、人的动作的一个反身抽象。这是一个很大的突破。所以，自然界里本身没有数学，离开人以后没有数学。
有人说：那有数量关系和空间关系呀！数量关系、空间关系都是人的计数活动和空间度量活动的产物。比如说拿最简单的自然数来说，1、2、3、……、10。自然数从哪里来的？世界只有1，没有2。自然界没有2！这实际上涉及到个别和一般的关系。当年，莱布尼兹在宫廷里讲数学时，讲了个别与一般的关系。他跟皇帝举例说，世界上没有两片相同的叶子。宫女们听了不相信，就去找，但怎么也找不出来。只有1，1就是个别，到2，就是抽象了。2是怎么来的？它其实是人类计数活动的产物。它是把别的相关的因素都抽象掉了，只剩下最抽象的“数量关系“。那什么是“加”？“加”在自然界就更没有了。“加”是人的计数活动。这是1 个杯子，2个杯子，这个叫“加”。这是计数活动的产物！所以，皮亚杰就揭示出：数学是人的计数活动和空间度量活动的反身抽象。是对人的活动的抽象！而所谓反身抽象就是对主体活动（动作）的抽象。
心理学揭示出很重要的一个规律：儿童在学数学时，都要以浓缩的形态再现整个人类的发展历程。孩子怎么学数学的？数学经验是怎么获得、怎么发展的？孩子学数学的历程要重演整个人类数学的发展过程。人的数学从哪儿来的？是计数活动（例如结绳计数）才有的，然后才有几何。但是一旦这个东西形成以后，它就形成了一个抽象的数学体系、几何体系、逻辑体系，而且分为几个部分。这样时间长了以后，就形成了一整套的系统理论。因为它有很大的普遍性，它可以推理，它就好象一个很奇怪的东西。我们好象在学这个东西。而学这个东西就形成了很多公理、定理等，而且只要按照这个套，就不会错。所以后来一说数学，好象就是记住这些公理、定理，然后一套就行了。其实这样是不会懂数学的。皮亚杰做了很多实验，研究儿童数概念的发展、空间概念的发展、时间概念的发展、守恒概念的发展、因果概念的发展，揭示了很多东西，并发现它和整个人类的科学史、数学史的发展是非常一致的。因此，最好的方法就是用科学史、数学史里最典型的那些事实来教给学生，而且一定要操作。
没有操作、没有计数活动，儿童学不会算术。所以开始一年级孩子学习算术时，一定要有经验支撑，而且开始一定要加具体的量，如一个苹果、一个梨。然后再抽象，再抽象出1、2。现在看来从有量的抽象到没有量的抽象太难，所以中间应该有一个中介。中介是什么呢？中国是用算盘。一个算盘珠既可以代替一个苹果，也可以代替一个梨，已经经过一步抽象了。通过这样一个中介，儿童比较容易达到这个过程。教孩子不能脱离这个。
另外，教几何也是这样，一定要有空间度量活动。这样它才能理解什么叫点，什么叫线。我们大人理解起来好象这很容易，点就是点嘛、线就是线嘛、面就是面嘛、体就是体嘛。孩子不懂。孩子和经验对照不起来。他一定要从经验里抽象出这种点、线、面、体，才能理解。包括孩子能不能看懂立体几何的投影图，也是受经验制约的。这实际上是一种空间知觉。空间知觉是后天形成的，不同于先天就有的感觉。空间知觉至少需要是两种感觉的组合，一是触觉，一是多种角度的视觉。心理学做过一个实验：先天的盲人，在眼睛突然能看见以后，没有空间知觉，不能分辨平面的图和立体的物。那么怎么才能建立空间知觉呢？他就得从不同角度看一个物体。比如这个盒子，我们一看到就知道是立体的。其实你也只看到了三个面，可是你为什么知道后面还有三个面呢？这是是把原来的经验综合起来了。所以先天盲人要建立起空间知觉，一定要从不同角度看一种东西，最好摆弄摆弄，这就把视觉、触觉、包括从不同角度的视觉综合起来了，这样才能建立起空间知觉。
但是我们现在，用传统手段教数学就缺乏操作，缺乏操作活动！离开人的活动是没有数学、也学不懂数学的。所以，学习数学很重要的一个环节是了解数学背景、获得数学经验。而且数学经验与物理经验又连在一块的。因为我们摸的东西也有各种物理经验，如形态、软硬、温度等，但我现在要把物理经验抽象掉，只剩下空间关系、数量关系了。所以要经过好几步思维的变化。有了这些基本的概念以后，数学要进一步讲到它们之间的关系。实际上，数学也好、几何也好，重要的不在数，而在于它们之间的关系，一个是数量关系，一个是空间关系。关系是怎么把握的呢？这就必须有纯数学经验了。而关系是在变化中把握的。但我们现在教的数学就没有变化的过程，而且没有数学操作的过程。因此，最好的办法是创造一种东西，能够提供一种纯数学经验，并且最好能把数量关系和空间关系联系起来。
实际上几何画板提供的就是这样一个东西。它是可以操作的。比如说，过去讲数学，要讲直角三角形的概念，就要画几种典型的直角三角形，但你不能穷尽它吧！所以孩子所看到的就是这几种直角三角形，再换一个角度看还是不是呢？孩子又要重新判别了。几何画板就可以让孩子操作图形，这样就可以把图形各种不同的状态都表现出来了。噢，这是一个直角三角形。而在过去是一下子就把本质的东西给学生了。但这本质是从哪儿来的？本质是从现象里抽象出来的。但传统教学中，你不可能在黑板上把很多具体都提供给他。仅仅用抽象的语言来表述数学关系的本质和规律很容易产生误解，因为他接触的是个别，而“直角三角形” 这个概念已经是抽象的了，只剩下最本质的东西了。这个本质是你给他的，不是他把握的，不是他发现的，不是他抽象的，而在操作几何图形的过程中，可以看到不同样子的直角三角形，而且还要有与锐角三角形、钝角三角形的比较。在这种动态的操作过程中，就给孩子比较和抽象创造了一种活动的空间和条件。这样它就能在活动中进行反身抽象，获得、理解和掌握这些抽象的概念，而不是你把抽象的结论告诉他。只有这样，孩子获得的才是真正的数学经验，而不是数学结论。
然后接着就是数量关系。几何画板另一个非常好的地方是把数和形给结合起来了。它在画完图后，马上就可以测算出数值，并能把在图形变化过程中数量关系的变化直观地显示出来。这个过去做不到，顶多可以把相对的几个变化值告诉学生。但随着一个微小变化，数量都发生了什么样的变化就不是传统教学所能做到的了。而几何画板就可以随时都看到各种情况下的数量关系及其变化，所以它能把数和形的潜在关系及其变化动态地显现出来。学数学学通了，一定是把数和形都打通了。所以我始终主张：解析几何应该早学。现在数学是分门别类地学，在小学也是分为整数、分数、小数、对数、指数来学，而且是一种一套运算规则。国内有一个赵宋光教授在小学做了一个实验，我与他合作多年。他发明了“质因积”的概念，也就是质因数的连乘积，并用指数的形式表现出来。在小学一年级下学期时，学生用几周左右即可掌握，并把它作为整数、分数、小数、对数、指数的转换站，非常容易掌握。数和形的打通，解析几何比较复杂，事实上在学直角坐标系时就可以引入数和形的关系。而几何画板又可以提供这方面的东西。因此几何画板可开发的东西很多。
理解数学的本质、理解数学教育的本质、理解数学经验的本质、孩子怎么发展数学思维的能力，这些问题如果在一个新的高度认识以后，我们会打破很多原来的教学定式，创造出很多新的教学模式。
现在最流行各种多媒体软件。这些软件最大的特点是形象和动态这两个东西。而语言恰恰就是抽象的。一抽象了就不好懂，它提供的不是经验背景，提供的是语言、概念，是逻辑。所以讲了半天，我们大人因为有了经验的支撑，有这个背景，可能觉得讲得挺清楚的，怎么讲了半天学生还是不懂？如果学生没有这种背景他就是不懂。关键在于你怎么给学生创造这些背景。以往我们所提倡的直观教学就是想找到一种经验背景来帮助学生理解，但是有些是找不到的。而通过动态的几何，就可以提供许多现实中无法提供的经验背景。所以探索这种教学很重要的是探索如何提供经验背景，什么时候给，怎么给，要探索出一套新的东西。实际上，是要创造出一种学生活动模式，而不是教学模式。老师的目的是要让学生理解一个概念、一个规律。这在以前是用老师讲来让学生明白的，现在能不能转换成学生自己的操作活动。你先把目的告诉他，然后提出几个问题，给他一套操作程序，再笨的孩子也能理解了。所以《几何画板》对于差生来说是个救命的东西。
北京师范大学未来教育研究中心主任 桑新民
（1997年5月，桑新民教授参加全国中小学计算机教育研究中心为北京市老师组织的《几何画板》讨论组，并发表了即兴演讲。本稿是根据录像整理，并经桑新民教授的修改而来的。在此对桑新民教授表示感谢！）
提到数学的本质，就涉及到数学和物理、化学这些经验科学的关系。过去对数学的本质理解存在不少偏颇，认为数学是：世界的数量关系与空间关系的抽象。但实际上，这个定义是在用机械反应论的观点来定义数学的。这样一来，数学和物理就无法区别，因为物理也是对客体的反映。
对于这个问题，皮亚杰的研究有一个突破。他区分了两种经验，一种叫物理经验，一种叫数学逻辑经验。物理经验不光指物理学，所有的经验科学都属于物理经验，包括化学这类科学。物理经验是对客体的抽象，而数学逻辑经验呢，自然界里没有。自然界没有数学！数学是什么？数学逻辑经验是对人的活动、人的动作的一个反身抽象。这是一个很大的突破。所以，自然界里本身没有数学，离开人以后没有数学。
有人说：那有数量关系和空间关系呀！数量关系、空间关系都是人的计数活动和空间度量活动的产物。比如说拿最简单的自然数来说，1、2、3、……、10。自然数从哪里来的？世界只有1，没有2。自然界没有2！这实际上涉及到个别和一般的关系。当年，莱布尼兹在宫廷里讲数学时，讲了个别与一般的关系。他跟皇帝举例说，世界上没有两片相同的叶子。宫女们听了不相信，就去找，但怎么也找不出来。只有1，1就是个别，到2，就是抽象了。2是怎么来的？它其实是人类计数活动的产物。它是把别的相关的因素都抽象掉了，只剩下最抽象的“数量关系“。那什么是“加”？“加”在自然界就更没有了。“加”是人的计数活动。这是1 个杯子，2个杯子，这个叫“加”。这是计数活动的产物！所以，皮亚杰就揭示出：数学是人的计数活动和空间度量活动的反身抽象。是对人的活动的抽象！而所谓反身抽象就是对主体活动（动作）的抽象。
心理学揭示出很重要的一个规律：儿童在学数学时，都要以浓缩的形态再现整个人类的发展历程。孩子怎么学数学的？数学经验是怎么获得、怎么发展的？孩子学数学的历程要重演整个人类数学的发展过程。人的数学从哪儿来的？是计数活动（例如结绳计数）才有的，然后才有几何。但是一旦这个东西形成以后，它就形成了一个抽象的数学体系、几何体系、逻辑体系，而且分为几个部分。这样时间长了以后，就形成了一整套的系统理论。因为它有很大的普遍性，它可以推理，它就好象一个很奇怪的东西。我们好象在学这个东西。而学这个东西就形成了很多公理、定理等，而且只要按照这个套，就不会错。所以后来一说数学，好象就是记住这些公理、定理，然后一套就行了。其实这样是不会懂数学的。皮亚杰做了很多实验，研究儿童数概念的发展、空间概念的发展、时间概念的发展、守恒概念的发展、因果概念的发展，揭示了很多东西，并发现它和整个人类的科学史、数学史的发展是非常一致的。因此，最好的方法就是用科学史、数学史里最典型的那些事实来教给学生，而且一定要操作。
没有操作、没有计数活动，儿童学不会算术。所以开始一年级孩子学习算术时，一定要有经验支撑，而且开始一定要加具体的量，如一个苹果、一个梨。然后再抽象，再抽象出1、2。现在看来从有量的抽象到没有量的抽象太难，所以中间应该有一个中介。中介是什么呢？中国是用算盘。一个算盘珠既可以代替一个苹果，也可以代替一个梨，已经经过一步抽象了。通过这样一个中介，儿童比较容易达到这个过程。教孩子不能脱离这个。
另外，教几何也是这样，一定要有空间度量活动。这样它才能理解什么叫点，什么叫线。我们大人理解起来好象这很容易，点就是点嘛、线就是线嘛、面就是面嘛、体就是体嘛。孩子不懂。孩子和经验对照不起来。他一定要从经验里抽象出这种点、线、面、体，才能理解。包括孩子能不能看懂立体几何的投影图，也是受经验制约的。这实际上是一种空间知觉。空间知觉是后天形成的，不同于先天就有的感觉。空间知觉至少需要是两种感觉的组合，一是触觉，一是多种角度的视觉。心理学做过一个实验：先天的盲人，在眼睛突然能看见以后，没有空间知觉，不能分辨平面的图和立体的物。那么怎么才能建立空间知觉呢？他就得从不同角度看一个物体。比如这个盒子，我们一看到就知道是立体的。其实你也只看到了三个面，可是你为什么知道后面还有三个面呢？这是是把原来的经验综合起来了。所以先天盲人要建立起空间知觉，一定要从不同角度看一种东西，最好摆弄摆弄，这就把视觉、触觉、包括从不同角度的视觉综合起来了，这样才能建立起空间知觉。
但是我们现在，用传统手段教数学就缺乏操作，缺乏操作活动！离开人的活动是没有数学、也学不懂数学的。所以，学习数学很重要的一个环节是了解数学背景、获得数学经验。而且数学经验与物理经验又连在一块的。因为我们摸的东西也有各种物理经验，如形态、软硬、温度等，但我现在要把物理经验抽象掉，只剩下空间关系、数量关系了。所以要经过好几步思维的变化。有了这些基本的概念以后，数学要进一步讲到它们之间的关系。实际上，数学也好、几何也好，重要的不在数，而在于它们之间的关系，一个是数量关系，一个是空间关系。关系是怎么把握的呢？这就必须有纯数学经验了。而关系是在变化中把握的。但我们现在教的数学就没有变化的过程，而且没有数学操作的过程。因此，最好的办法是创造一种东西，能够提供一种纯数学经验，并且最好能把数量关系和空间关系联系起来。
实际上几何画板提供的就是这样一个东西。它是可以操作的。比如说，过去讲数学，要讲直角三角形的概念，就要画几种典型的直角三角形，但你不能穷尽它吧！所以孩子所看到的就是这几种直角三角形，再换一个角度看还是不是呢？孩子又要重新判别了。几何画板就可以让孩子操作图形，这样就可以把图形各种不同的状态都表现出来了。噢，这是一个直角三角形。而在过去是一下子就把本质的东西给学生了。但这本质是从哪儿来的？本质是从现象里抽象出来的。但传统教学中，你不可能在黑板上把很多具体都提供给他。仅仅用抽象的语言来表述数学关系的本质和规律很容易产生误解，因为他接触的是个别，而“直角三角形” 这个概念已经是抽象的了，只剩下最本质的东西了。这个本质是你给他的，不是他把握的，不是他发现的，不是他抽象的，而在操作几何图形的过程中，可以看到不同样子的直角三角形，而且还要有与锐角三角形、钝角三角形的比较。在这种动态的操作过程中，就给孩子比较和抽象创造了一种活动的空间和条件。这样它就能在活动中进行反身抽象，获得、理解和掌握这些抽象的概念，而不是你把抽象的结论告诉他。只有这样，孩子获得的才是真正的数学经验，而不是数学结论。
然后接着就是数量关系。几何画板另一个非常好的地方是把数和形给结合起来了。它在画完图后，马上就可以测算出数值，并能把在图形变化过程中数量关系的变化直观地显示出来。这个过去做不到，顶多可以把相对的几个变化值告诉学生。但随着一个微小变化，数量都发生了什么样的变化就不是传统教学所能做到的了。而几何画板就可以随时都看到各种情况下的数量关系及其变化，所以它能把数和形的潜在关系及其变化动态地显现出来。学数学学通了，一定是把数和形都打通了。所以我始终主张：解析几何应该早学。现在数学是分门别类地学，在小学也是分为整数、分数、小数、对数、指数来学，而且是一种一套运算规则。国内有一个赵宋光教授在小学做了一个实验，我与他合作多年。他发明了“质因积”的概念，也就是质因数的连乘积，并用指数的形式表现出来。在小学一年级下学期时，学生用几周左右即可掌握，并把它作为整数、分数、小数、对数、指数的转换站，非常容易掌握。数和形的打通，解析几何比较复杂，事实上在学直角坐标系时就可以引入数和形的关系。而几何画板又可以提供这方面的东西。因此几何画板可开发的东西很多。
理解数学的本质、理解数学教育的本质、理解数学经验的本质、孩子怎么发展数学思维的能力，这些问题如果在一个新的高度认识以后，我们会打破很多原来的教学定式，创造出很多新的教学模式。
现在最流行各种多媒体软件。这些软件最大的特点是形象和动态这两个东西。而语言恰恰就是抽象的。一抽象了就不好懂，它提供的不是经验背景，提供的是语言、概念，是逻辑。所以讲了半天，我们大人因为有了经验的支撑，有这个背景，可能觉得讲得挺清楚的，怎么讲了半天学生还是不懂？如果学生没有这种背景他就是不懂。关键在于你怎么给学生创造这些背景。以往我们所提倡的直观教学就是想找到一种经验背景来帮助学生理解，但是有些是找不到的。而通过动态的几何，就可以提供许多现实中无法提供的经验背景。所以探索这种教学很重要的是探索如何提供经验背景，什么时候给，怎么给，要探索出一套新的东西。实际上，是要创造出一种学生活动模式，而不是教学模式。老师的目的是要让学生理解一个概念、一个规律。这在以前是用老师讲来让学生明白的，现在能不能转换成学生自己的操作活动。你先把目的告诉他，然后提出几个问题，给他一套操作程序，再笨的孩子也能理解了。所以《几何画板》对于差生来说是个救命的东西。
第2个回答 2007-05-05
伟大的革命导师恩格斯，站在辩证唯物主义的理论高度，通过深刻分析数学的起源和本质，精辟地作出了一系列科学的论断。恩格斯指出：“数学是数量的科学”，“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”。根据恩格斯的观点，较确切的说法就是：数学——研究现实世界的数量关系和空间形式的科学。
数学可以分成两大类，一类叫纯粹数学，一类叫应用 数学。
纯粹数学也叫基础数学，专门研究数学本身的内部规律。中小学课本里介绍的代数、几何、微积分、概率论知识，都属于纯粹数学。纯粹数学的一个显著特点，就是暂时撇开具体内容，以纯粹形式研究事物的数量关系和空间形式。例如研究梯形的面积计算公式，至于它是梯形稻田的面积，还是梯形机械零件的面积，都无关紧要，大家关心的只是蕴含在这种几何图形中的数量关系。
应用数学则是一个庞大的系统，有人说，它是我们的全部知识中，凡是能用数学语言来表示的那一部分。应用数学着限于说明自然现象，解决实际问题，是纯粹数学与科学技术之间的桥梁。大家常说现在是信息社会，专门研究信息的“信息论”，就是应用数学中一门重要的分支学科， 数学有3个最显著的特征。
高度的抽象性是数学的显著特征之一。数学理论都算有非常抽象的形式，这种抽象是经过一系列的阶段形成的，所以大大超过了自然科学中的一般抽象，而且不仅概念是抽象的，连数学方法本身也是抽象的。例如，物理学家可以通过实验来证明自己的理论，而数学家则不能用实验的方法来证明定理，非得用逻辑推理和计算不可。现在，连数学中过去被认为是比较“直观”的几何学，也在朝着抽象的方向发展。根据公理化思想，几何图形不再是必须知道的内容，它是圆的也好，方的也好，都无关紧要，甚至用桌子、椅子和啤酒杯去代替点、线、面也未尝不可，只要它们满足结合关系、顺序关系、合同关系，具备有相容性、独立性和完备性，就能够构成一门几何学。
数学可以分成两大类，一类叫纯粹数学，一类叫应用 数学。
纯粹数学也叫基础数学，专门研究数学本身的内部规律。中小学课本里介绍的代数、几何、微积分、概率论知识，都属于纯粹数学。纯粹数学的一个显著特点，就是暂时撇开具体内容，以纯粹形式研究事物的数量关系和空间形式。例如研究梯形的面积计算公式，至于它是梯形稻田的面积，还是梯形机械零件的面积，都无关紧要，大家关心的只是蕴含在这种几何图形中的数量关系。
应用数学则是一个庞大的系统，有人说，它是我们的全部知识中，凡是能用数学语言来表示的那一部分。应用数学着限于说明自然现象，解决实际问题，是纯粹数学与科学技术之间的桥梁。大家常说现在是信息社会，专门研究信息的“信息论”，就是应用数学中一门重要的分支学科， 数学有3个最显著的特征。
高度的抽象性是数学的显著特征之一。数学理论都算有非常抽象的形式，这种抽象是经过一系列的阶段形成的，所以大大超过了自然科学中的一般抽象，而且不仅概念是抽象的，连数学方法本身也是抽象的。例如，物理学家可以通过实验来证明自己的理论，而数学家则不能用实验的方法来证明定理，非得用逻辑推理和计算不可。现在，连数学中过去被认为是比较“直观”的几何学，也在朝着抽象的方向发展。根据公理化思想，几何图形不再是必须知道的内容，它是圆的也好，方的也好，都无关紧要，甚至用桌子、椅子和啤酒杯去代替点、线、面也未尝不可，只要它们满足结合关系、顺序关系、合同关系，具备有相容性、独立性和完备性，就能够构成一门几何学。
第3个回答 2007-05-05
数学就是我,我就是数学.本回答被提问者采纳
第4个回答 2007-05-05
数学可以分成两大类，一类叫纯粹数学，一类叫应用 数学。
相似回答
