1.解:等式f`(x)+f(x)-1/(x+1)∫<0,x>f(t)dt=0化为
(x+1)[f`(x)+f(x)]-∫<0,x>f(t)dt=0,求导得
[f`(x)+f(x)]+(x+1)[f``(x)+f`(x)]-f(x)=0,整理得
(x+1)f``(x)+(x+2)f`(x)=0,分离变量得
df`(x)/f`(x)=-(x+2)/(x+1),积分得
f`(x)=Ce^(-x)/(x+1)
由f`(x)+f(x)-1/(x+1)∫<0,x>f(t)dt=0,得f`(0)+f(0)=0
即f`(0)=-f(0)=-1,代入f`(x)
表达式求得C=-1,故
f`(x)=-e^(-x)/(x+1)
2.证:当x≥0时,f`(x)<0,f(x)单调递减,故f(x)≤f(0)=1
f(x)=∫<0,x>f`(t)dt+f(0)≥∫<0,x>[-e^(-t)]dt+1=e^(-x)