初中数学学科基础重点

为形式化公理方法。
公理体系的合理性和公理化方法提出三个基本的要求： (1)协调性要求。 (2)独立性要求。（3）完备性要求。 （二）几何的统一化 F· 克莱因是近代数学史中非常有名的数学家，他的重要贡献之一，就是透过数学结构的方法为众多几何学分支找到一种内在的结构规律。 表面互不相干的几何学被 F·克莱因用变换群联系到一起，同时变换群的任何一个分类也对应几何学的一种分类。 F· 克莱因用群的结构与理论统一几何学的方法，是抽象结构方法的重要成就，是数学第二次抽象威力的具体体现。。 模型模式的抽象
粗略地说，数学模型是针对或参照某种事物系统的特征或数量关系，采用形式化数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学建构。所谓数学建构，是指使用数学概念、数学符号、数学语言等表述出来的被研究对象的纯关系结构。“纯”是指已扬弃了一切与关系无本质联系的属性，只保留与研究目的有关的本质特征。 具体地说，数学模型有广义的解释和狭义的解释。
（一）广义解释 数学模型是从现实世界中抽象出来的，是客观事物的某些属性的一种近似反映。（二）狭义解释 数学模型是将具体属性抽象出来构成一种特定的数学关系结构，只有那些反映特定问题或特定事物系统的数学结构才叫数学模型。 数学模型的抽象过程
具体的抽象过程我们可以总结为如下几个关键步骤：
首先，分析问题的各种关系，全面地掌握了问题中各种因素之间的联系。其次，确定了各关系之间的本质属性。 第三，建立一笔画的数学模型，第四，把数学模型返回到实际问题之中。检验正确，那么这个抽象的数学模型就可以广泛地加以应用。 中小学数学常见数学模型的抽象 (一)经济数学模型的抽象
在人类的生产生活中，有许多实际问题可以用初等数学来解决，对这些具体问题的抽象处理就形成了许多有关这些方面的数学模型。这些问题主要表现在工程进度、人口增长、收入变等方面。这些问题运用的数学工具大多是代数方程、指数函数以及其它相关的函数概念。这一类的数学模型在现实生活中随处可见，中小学的数学教学应以这些为例深入浅出地抽象、构造及运用这些模型。 （二）运动数学模型的抽象
一些事物在运动中表现出速度、加速度、时间、距离之间的关系，这类问题构成了带有运动特征的数学模型。
（三）逻辑程序数学模型的抽象
逻辑推理形式一直是数学运用的最基本的思想方法，从数学模型的抽象角度把它看作是一种数学方法和结构模型还是近代才引起人们重视的。对于初等数学教育而言，我们以前的数学教育只是在学习几何知识时才开始强化逻辑推理方面的教育，这种数学教育也由于对定义、定理的推导而忽视对逻辑程序自身的注意。近年来，由于计算机的迅速普及使得逻辑程序方面（或算法）的教育就显得越来越重要。 结合初中教学实际谈一谈你 对数学抽象的理解。
数学抽象的教学应当直接指向学生在与数学相关问题上的一般思维水平方面的发展。事实上，义务教育阶段的数学教育是一种公民教育，它给学生带去的绝不仅仅是会解更多
的数学题了。这些学生的未来会遇到不同的挑战——一些人需要学习或研究更多的数学，对他们而言，是否能够“思考数学”非常重要；另一些人（他们是受教育的学生中的绝大多数）就业以后基本上不需要解纯粹的数学题（除了参加数学考试），对他们而言，“思考数学”是一种需要，但更多的或许是能够进行“数学的思考”，即在面临各种问题情境（特别是非数学问题）时，能够从数学的角度去思考问题、能够发现其中所存在的数学现象、并将之抽象为数学问题，运用数学的知识与方法去解决问题。对所有的未来公民来说，抽象思维和形象思维水平，归纳推理与演绎推理能力等都是不可缺少的。 这个教学目标的实现也不能仅仅通过研究“纯粹抽象”的数学现象来进行，而应当在研究多种现象与问题（数学的、非数学的）的过程中逐步完成。具体说来，就是让学生经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展数学抽象思维。
教学的主要目的在于使学生能够用数学的语言去刻画现实世界，去发现隐藏在具体事物背后的一般性规律。相对于不同学段的学生而言着重点不一样：
对第一学段的学生来说，能够用数和简单的图表刻画一些现实生活中的简单现象，就是目标；对第二学段的学生而言，应当包括既能够用数和简单的图表刻画一些现实生活中的现象，还应当包含对某些数字信息做出合理的解释；对于第三学段的学生来说，除去在较复杂的层面上能够完成前面的任务，重点应当是能够用各种数学关系（方程、不等式、函数等）去刻画具体问题，建立合适的数学模型。 第七章 数学推理
思维模式下对推理的理解 哲学对推理的理解为：推理是从一个或几个判断推出一个新的判断的思维形式。常见的推理有归纳推理，演绎推理和类比推理。
推理模式下对推理的理解 对于数学而言，本质上有两种推理模式，一种是演绎推理，一种是归纳推理。
基本推理是指由一个命题或者几个命题出发，得到另一个命题的思维路径，其中所谓的命题是指一种可以肯定或者否定的语句。
推理的基础 一个数学论证过程是由一系列基本推理构成的，讨论基本推理是分析数学论证过程的基础。基本推理中所涉及的基本概念包括语言、命题和定义，其中，语言是推理的工具，命题是推理的对象，定义是命题的基础。
推理的工具：语言 语句是指：表达一个完整思想的语言单位。如果不涉及论证过程，数学上的语句通常以命题的形式出现。
推理的对象：命题 命题是指：或者可以通过分析，或者可以通过经验证实的语句，也就是说，命题是一种可以进行是非判断的语句。 数学命题的核心是叙述研究对象之间的关系，即把关系概念应用于对象概念。数学推理过程中的命题必须简捷准确，不能引发歧义。
命题的基础：定义 准确的定义对于命题的判断是非常重要的，在这个意义上，定义是命题的基础。
数学定义大概分为两种：一种是名义定义，一种是实质定义。所谓名义定义是对某些事物标明符号，或者是对某类事物指明称谓。所谓实质定义是指揭示所研究问题对象内涵的逻辑方法，通过对许多所要研究问题的对象进行具体分析，归纳出共性、抽象出定义。 定义与命题之间的关系：定义的功能是为了明确讨论问题的对象，命题的功能是为了表

述所讨论问题的实质，论证的功能是分析条件和结果之间的关系。 数学推理过程中需要把握三个基本原则，即同一律、矛盾律和排中律。 演绎推理的一般含义
我们初步定义数学中的演绎推理为：按照某些规定了的法则所进行的、前提与结论之间有必然联系的推理 。又因为数学的结论大体上可以分为命题结论和运算结论，那么针对数学的演绎推理而言，大体就可以分成两个部分：命题推理和运算推理。
一演绎推理在数学中有多种形式(如联合推理、选言推理、假言推理等)，但数学中最常用的是直言三段论式的演绎推理。数学中常称之为“三段论”式的演绎推理。 直言三段论——具有传递关系的推理
三段论是一个包括大前提、小前提和结论三个部分的论证形式，这是一个基本推理的模式。 其基本模式为：
大前提：一切 M 都是(或不是 )P ， 小前提： S是M，
结 论： S 是(或不是) P 。
数学的推理与证明过程，就是一连串的三段论式推理的有序组合。
直言三段论的本质是命题的可传递性，或者说，命题所对应的集合之间可以形成包含关系。
这样就可以得到结论：对于数学的推理而言，全称肯定、全称否定、特称否定这三种形式的直言三段论是有效的，也是经常被使用的。
用集合的语言对直言三段论表述如下：直言三段论表述的是集合之间的包含关系，这种关系具有传递性。其中关于“包含关系具有传递性”这个命题，应当是人们在长期的日常生活和生产实践中总结出来的公理，人们从远古的时候就会知道：一个人属于家庭，家庭属于族群，那么，这个人属于族群。这个命题的正确性是不需要证明的，并且，“具有传递性”这个命题应当作为人们可能进行逻辑推理的基础。
归纳推理是由已知为真的命题做前提，引出可能真实命题做结论的推理。
归纳推理的前提与结论之间具有必要条件关系。首先，归纳推理的前提必须是真实的、可靠的，否则，归纳也就失去了意义。前提的真实性对于归纳推理来说是必要的。人们根据考察对象涉及的是某类事物的一部分还是全体，又把具有递推关系的归纳推理分为不完全归纳推理和完全归纳推理。
（一）不完全归纳推理 不完全归纳推理是根据某类事物的部分对象具有的(或不具有)某种属性，推出该事物的全体具有(或不具有)这种属性的思维方式。 （二）完全归纳推理
完全归纳推理是从某类事物每个对象都具有(或不具有)某种属性，推出这类事物的全体具有(或不具有)某种属性的思维方法。由于这类方法考察了某类事物的全部对象，所以得出的结论必定是正确。 1．穷举法 穷举法是数学中常用的一种完全归纳法。它是对具有有限个对象的某类事物进行研究时，把所有的对象的属性分别讨论，从肯定它们都具有某一属性得到这类事物都具有这一属性 (全称判断)的归纳推理。 一个比穷举法更一般的方法被称为简单枚举法 。 2．类分法 在考察中需要先对研究的对象按前提中可能存在的情况进行分类，再按类分别证明。 合情推理
结合中学数学教学实际，谈谈 合情推理在数学上的意义
数学是一个逻辑推理构成的体系，在思维进程的意义上它是从一般到特殊的推理论证。对前提的确认，通过逻辑推理带来对结论的确认，每一步推理都是可靠的、无可置疑的，因而这种逻辑推理确认了逻辑上可靠的数学知识，同时也建立了严格的数学体系。实际上，这种数学的逻辑构造只是数学建构后的表现形式，而在形成这种演绎形式之前，数学的理论必有一个探索发现的过程。这个探索发现的过程作为一种思维方式，作为一种数学发现的方法，是非逻辑演绎的，是一种合乎情理的、似真的推理过程，即合情推理。 作为数学中的创造性思维，它面临的是一个前人没有论证过的问题。因此按照合乎情理的方向，按照自己认为可能是正确的方向去进行推理，探索可能得到的结论，探索可能运用的方法，是合情推理发挥作用的地方。对于一个想把数学作为终身事业的学生而言，它必须学会逻辑论证推理。因为这是他未来的工作，也是数学科学思维发展中的一个特征。数学家为了取得成就，也必须学会合情推理，因为这是他创造性工作赖以进行的那种推理。
作为数学的学习，如果我们要求学生运用自己掌握的数学知识去解决问题，那么作为学生的个体经验，他必然有一个自我形式的合情推理过程，即按照自己认为可能合乎情理、可能正确的方向来试一下，尝试一下自己的方法、想法是否正确。从这种意义上来说，对于数学学习者，对于数学的解题过程而言，合情推理就是一个必须学会运用的思维方式。
合情推理实际上强调了一种思维的主动性、情感性和试错性。所谓主动性是说，合情推理不受数学自身严格演绎推理的束缚，可以向自己认为合乎情理的方向主动思考，尽管这种思考可能与数学本身的要求有差距。所谓情感性是说，合情推理可以按照自己认为似真的方向进行探索。这实际上只是一种探索性的思考，尽管这种思考可能与数学的真正演绎证明有一些差异。所谓试错性是说，合情推理是一个学习、论证的试错过程，正是通过不断的主观积极的试错才使问题得到最终的解决。 数学中合情推理的方式是各式各样的，在这些合情推理中最常用的是类比推理和归纳推理两种。
类比推理是指根据两个不同对象的某些方面相同或相似，推导出或猜出它们在其它方面可能具有相同或相似的思维形式。它是思维进程中由特殊到特殊的推理方式。 波利亚在论及类比合情推理的作用时，认为它可以在三个方面发挥作用：(1)可以提出新问题和获得新发现；(2)可以在求解问题中得到应用；(3)可以用来对猜测进行检验。应当指出的是，类比推理只是一种合情推理，它不能提供严格准确的数学逻辑证明。它获得的结论的正确与否，还必须经过严格的证明。因此类比推理是一种创造性、启发性较强而可靠性较弱的方法。 合情推理中的归纳
合情推理中所说的归纳是归纳推理思维方式中的不完全归纳推理，又称之为经验归纳法或称之为实验归纳法。这是一种从个别到一般，从经验事实或实验事实到理论的一种寻找真理和发现真理的方法。
1．用经验归纳法发现问题的结论 对于数学问题而言，运用经验归纳法可以由一个特殊的事实来猜测可能存在的结论。
2．用经验归纳发现解决数学问题的路径 在经验归纳的合情推理中，可以由一个特殊处理问题的数学公式、数学方法或解题思路中归纳推导出对一般问题的处理公式、方法或思路。
合情推理中，类比推理与归纳推理差异是明显的。归纳推理是从特殊到一般的推理，是一种纵向思维；类比推理则是借助两个系统某些部分的相似性或一致性进行的横向思

维。在实际问题中，两种推理形式互相促进，成为合情推理中相互配合、相互利用的重要的数学发现的方法。而作为合情推理，作出创造性思维有时需要不同思维方式的相互配合。
数学猜想——介于归纳与演绎之间
数学猜想，是指人们根据已知的某些数学知识和某些事实，对数学的某些理论、方法等提出一些猜测性的推断。 1．由归纳提出数学猜想
由某类数学对象中的个别对象具有的属性，进而猜想该类对象全体都具有这种属性，这是不完全归纳的基本思维方法。利用不完全归纳的思维方法提出数学猜想是构成创造性思维的一个重要方面。 2．由类比产生的数学猜想
类比是产生数学猜想的一个重要思维方法，许多数学家通过类比获得了一种灵感、一种直觉，进而提出数学猜想。
但是，我们要清楚的知道，一个数学猜想的证明历程并不是容易的事情。 演绎推理与归纳推理的关系 演绎推理的定义：按照某些规定了的法则所进行的、前提与结论之间有必然联系的推理。 归纳推理的定义： 按照某些法则所进行的、前提与结论之间有或然联系的推理。比较可以看到，归纳推理比演绎推理要灵活得多，这是因为：在推理过程中，“法则”是必要的，但不需要事先规定；前提与结果之间的“联系”是必要的，但这种联系是或然的而不是必然的 。正因为归纳推理具有这种灵活性，才可能从事物（事情和实物）的现实出发，对事物的过去或者未来进行推断。虽然通过推断得到的结论不一定是必然的，但却是实用的，因为在日常生活和生产实践中，人们对事情决策所遵循的原则并不要求必然成立，只是希望在大多数情况下成立。 对于数学而言，如果说演绎推理是为了证明的推理，那么归纳推理就是为了推断的推理，把这两种推理模式结合起来，就得到了 数学的推理的全部过程：从条件出发，借助归纳推理“推断”数学结果的可能性，借助演绎推理“验证”数学结果的必然性；或者进行一个相反的推理过程：从结果出发，借助归纳推理“推断”数学条件的可能性，借助演绎推理“验证”数学条件的必要性。 谈谈你 对数学推理教学的理解。
长期以来数学教学注重采用“形式化”的方式，发展学生的演绎推理能力，忽视了合情（归纳）推理能力的培养。数学不仅需要演绎推理，同样、甚至有时更需要合情（归纳）推理。科学结论的发现往往发端于对事物的观察、比较、归纳、类比……，即通过合情（归纳）推理提出猜想，然后再通过演绎推理证明猜想正确或错误。演绎推理和合情（归纳）推理是既不相同又相辅相成的两种推理。
《标准》对推理能力的主要表现作了如下的阐述：“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例”。这就是说，学生获得数学结论应当经历 合情（归纳） 推理——演绎推理的过程。 合情（归纳） 推理的实质是“发现”，因而关注归纳推理能力的培养有助于发展学生的创新精神。当然，由 合情（归纳） 推理得到的猜想常常需要证实，这就要通过演绎推理给出证明或举出反例，《标准》中对一些公式、法则、定理的证明，也规定了相应的论证的要求。推理能力的培养，必须充分考虑学生的身心特点和认知水平，注意层次性。即使如此，《标准》在“学段目标”的“数学思考”部分的表述中，三个学段仍然有着一定的层次。
培养学生的演绎推理能力不仅要注意层次性，而且要关注学生的差异。要使每一个学生都能体会证明的必要性，从而使学习演绎推理成为学生的自觉要求，克服“为了证明而证明”的盲目性；又要注意推理论证“量”的控制，以及要求的有序、适度。 第八章 数学活动经验 基本活动经验是近年来在《全日制义务教育数学课程标准》的修订过程中提出的新观点、新概念，目前已经变成支撑我国初中数学课程的“四基”之一，即基础知识、基本技能、基本活动经验和基本思想。
“经验”的基本含义 在通常意义下，所谓经验，就是按照事实原样而感知到的内容。《全日制义务教育数学课程标准》（修订稿）指出，“义务教育数学课程的目标在于，获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”这里的基本活动经验，实际上是指“学生亲自或间接经历了活动过程而获得的经验”。
基本活动经验的含义
是指，围绕特定的数学课程教学目标，学生经历了与数学课程教学内容密切相关的数学活动之后，所留下的、有关数学活动的直接感受、体验和个人感悟。
基本活动经验是经验的一种，由于经验的层次、水平所限，个体之间的数学活动经验有较大差异，即使在同一个活动中，不同的个体所获得的基本活动经验也会有所不同，这往往取决于个体对活动的感知水平与反思能力。 学生的基本活动经验包含三类基本内容： 1 ．一种体验性的内容
这种经验成分更多地表现为，学生在经历了活动之后在自己的情感、意志世界所形成的有关数学学科活动的、稳定的心理倾向。 2 ．一种方法性内容
即学生获得了这种活动经验之后，积累了开展类似活动的一种或几种基本的方法。这种策略既有方法学知识的意味，更有学生对这些策略、方法的自我诠释、自我解读。它属于典型的 个体知识，而不是作为严格的数学学科知识出现的一般知识。
3 ．一种模式性、策略性的内容这种内容与第二类类似，都是在学生获得了这种活动的初步经验之后，经过个人反省而提升出来的、开展类似活动的一种或几种基本模式、基本策略。它仍属于典型的 个体知识。
从哲学上讲，在数学学科教、学中，让学生获得数学的基本活动经验，本质上是让学生获得数学学科直观，这是学生获得数学发展的源泉。无论是作为普适性方法而出现的经验，还是作为模式性、策略性内容出现的经验，都是建立在直接的、感性的经验基础之上，经过个体的自我反省（反思）而形成的，它们带有明显的“再抽象”、再加工痕迹，都是基于个体对活动过程的再现所致。因而，数学学习必须诱发学生主动参与，积极思考，教师的使命和责任在于帮助学生建构其数学理解。 基本活动经验与相关概念的关系
基本活动经验与数学活动、基础知识、基本技能和基本思想的关系
在数学学习中，基本活动经验是对有关数学活动过程的个体反映，是个体针对相关数学活动过程的直接感知及其之上的自我反省的结果。 数学课程教学不仅要教给学生知识，更要帮助学生形成智慧。知识的主要载体是书本，智慧则形成于经验的形成和积累的过程之中，形成于经历的数学活动之中，诸如教师为学生创造的思考的过程、探究的过程、

抽象的过程、预测的过程、推理的过程、反思的过程等。智慧形成于学生应用所学的各类知识，发现问题、提出数学问题并加以分析和解决问题的各种教育教学实践活动之中。因而，数学的基本活动经验直接来源于数学活动之中。 在经历同一个数学活动过程之中，不同的人所获得的基本活动经验往往有所不同，往往存在着个体差异。这些差异，一方面来自于个体的感觉、知觉的水平差异，另一方面，这些差异与个体针对感觉、知觉到的内容的自我反省的水平和深广度密切相关。与其同时，这些差异也与个体参与活动的参与程度有着必然的关联。 基本活动经验与活动过程的关系
基本活动经验是对有关数学活动过程的个体反映，是个体针对相关数学活动过程的直接感知及其之上的自我反省的结果。 经历、体验、经验的区别和联系
基本活动经验与经历、体验密切相关，而彼此又有一些区别和关联。
人的经历可以分两种，即直接经历与和间接经历，其中，前者是主体亲身见过、做过或遭遇过某事件的过程而获得的经历，后者是主体从他人处听说或从其他媒介得到他人的经历。
而体验是一种感受经历的过程，是通过主体亲身体验事件发生的过程，从而获得经历，让主体在实践中实现自我领域的充实，感受经历的产生，领悟经历产生的意义，并在反思中进行情感的升华，因而，体验必须从直接经历中得到。
体验具有很强的、个体的情感色彩，停留在经历本身的感性的层面。
经历是为了进行体验，而体验不是目的，是为了获得直接的经验和感受，增强对知识、技能的理解，实现主体在情感、态度、价值观上的升华和发展，同时，能够对知识技能的理解和认识予以强化。然而，并不是所有的体验都会抽象提升为经验，若没有对体验抽象提取，也可能只是将情感升华为信念。主体在情感升华过程中，会和其对事件的原有兴趣进行对比，如果情感升华与原有兴趣一致，那么，其信念将会被强化，反之，则会被弱化。也就是说，体验其实也不是万能的。 基本活动经验的教育价值与基本功能 解基追问

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