令x=π-t，则0≤t≤π.
原式=I=∫(0,π)(π-t)sin(π-t)/[1+cos(π-t)^2]d(π-t)
=∫(π,0)(π-t)sint/(1+cost^2)dt
=π∫(0,π)dcost/(1+cost^2)-∫(π,0)tsint/(1+cost^2)dt
后一个积分是和原式相等
所以
2I=π∫(0,π)dcost/(1+cost^2)
=πarctan(cost)|(0,π)
=π[π/4-(-π/4)]
=π^2/2
原式=π^2/4
原式=I=∫(0,π)(π-t)sin(π-t)/[1+cos(π-t)^2]d(π-t)
=∫(π,0)(π-t)sint/(1+cost^2)dt
=π∫(0,π)dcost/(1+cost^2)-∫(π,0)tsint/(1+cost^2)dt
后一个积分是和原式相等
所以
2I=π∫(0,π)dcost/(1+cost^2)
=πarctan(cost)|(0,π)
=π[π/4-(-π/4)]
=π^2/2
原式=π^2/4
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第1个回答 2022-04-21
简单计算一下，答案如图所示
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