设n阶方阵A的伴随矩阵为A,证明:(1)若|A|=0,则|A|=0;

设n阶方阵A的伴随矩阵为A*,证明:(1)若|A|=0,则|A*|=0;
（2）|A*|=|A|^(n-1)
第一问可用反正法

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相关建议推荐于2017-11-23

(1)
证：

如果r(A)<n-1，A的所有n-1阶子式行列式都为0
由伴随阵的定义，A*=0
∴|A*|=0

如果r(A)=n-1
A(A*)=|A|E=0
A*的列向量为Ax=0的解，根据线性方程组理论
r(A)+r(A*)≤n
∴r(A*)≤1
∴|A*|=0

结论得证！

(2)
如果|A|=0，利用(1)的结论，|A*|=0
∴|A*|=|A|^(n-1)
如果|A|≠0，
∵A(A*)=|A|E
∴|A(A*)|=||A|E|【注意|A|是常数，计算行列式提出来就是|A|^n】
即：|A||A*|=|A|^n
∴|A*|=|A|^(n-1)

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其他看法

第1个回答 2020-03-13

(1)
证：
如果r(A)<n-1，A的所有n-1阶子式行列式都为0
由伴随阵的定义，A*=0
∴|A*|=0
如果r(A)=n-1
A(A*)=|A|E=0
A*的列向量为Ax=0的解，根据线性方程组理论
r(A)+r(A*)≤n
∴r(A*)≤1
∴|A*|=0
结论得证！
(2)
如果|A|=0，利用(1)的结论，|A*|=0
∴|A*|=|A|^(n-1)
如果|A|≠0，
∵A(A*)=|A|E
∴|A(A*)|=||A|E|【注意|A|是常数，计算行列式提出来就是|A|^n】
即：|A||A*|=|A|^n
∴|A*|=|A|^(n-1)

第2个回答 2010-04-02

没分，绕行

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