排列组合公式讲解

求一题：三封信投入四个邮筒，有几种投法？

公式p是指排列，从n个元素取r个进行排列(即排序)。
(p是旧用法，现在教材上多用a，arrangement)
公式c是指组合，从n个元素取r个，不进行排列（即不排序）。c-组合数
p-排列数
n-元素的总个数
r-参与选择的元素个数
!-阶乘
，如5！=5*4*3*2*1=120
c-combination
组合
p-permutation排列
对组合数c(n,k)
(n>=k)：将n,k分别化为二进制，若某二进制位对应的n为0，而k为1
，则c(n,k)为偶数；否则为奇数。
组合数的奇偶性判定方法为:
结论：
对于c(n,k),若n&k
==
k
则c(n,k)为奇数，否则为偶数。
证明：
利用数学归纳法：
由c(n,k)
=
c(n,k-1)
+
c(n-1,k-1);
对应于杨辉三角：
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
...
可以验证前面几层及k
=
0时满足结论，下面证明在c(n-1,k)和c(n-1,k-1)
(k
>
0)
满足结论的情况下，
c(n,k)满足结论。
1).假设c(n-1,k)和c(n-1,k-1)为奇数：
则有：(n-1)&k
==
k;
(n-1)&(k-1)
==
k-1;
由于k和k-1的最后一位(在这里的位指的是二进制的位，下同)必然是不同的，所以n-1的最后一位必然是1
。
现假设n&k
==
k。
则同样因为n-1和n的最后一位不同推出k的最后一位是1。
因为n-1的最后一位是1，则n的最后一位是0，所以n&k
!=
k，与假设矛盾。
所以得n&k
!=
k。
2).假设c(n-1,k)和c(n-1,k-1)为偶数：
则有：(n-1)&k
!=
k;
(n-1)&(k-1)
!=
k-1;
现假设n&k
==
k.
则对于k最后一位为1的情况：
此时n最后一位也为1，所以有(n-1)&(k-1)
==
k-1，与假设矛盾。
而对于k最后一位为0的情况：
则k的末尾必有一部分形如：10;
代表任意个0。
相应的，n对应的部分为：
1{*}*;
*代表0或1。
而若n对应的{*}*中只要有一个为1，则(n-1)&k
==
k成立，所以n对应部分也应该是10。
则相应的，k-1和n-1的末尾部分均为01,所以(n-1)&(k-1)
==
k-1
成立，与假设矛盾。
所以得n&k
!=
k。
由1)和2)得出当c(n,k)是偶数时，n&k
!=
k。
3).假设c(n-1,k)为奇数而c(n-1,k-1)为偶数：
则有：(n-1)&k
==
k;
(n-1)&(k-1)
!=
k-1;
显然，k的最后一位只能是0，否则由(n-1)&k
==
k即可推出(n-1)&(k-1)
==
k-1。
所以k的末尾必有一部分形如：10;
相应的，n-1的对应部分为：
1{*}*;
相应的，k-1的对应部分为：
01;
则若要使得(n-1)&(k-1)
!=
k-1
则要求n-1对应的{*}*中至少有一个是0.
所以n的对应部分也就为
：
1{*}*;
(不会因为进位变1为0)
所以
n&k
=
k。
4).假设c(n-1,k)为偶数而c(n-1,k-1)为奇数：
则有：(n-1)&k
!=
k;
(n-1)&(k-1)
==
k-1;
分两种情况：
当k-1的最后一位为0时:
则k-1的末尾必有一部分形如:
10;
相应的，k的对应部分为
:
11;
相应的，n-1的对应部分为
:
1{*}0;
(若为1{*}1,则(n-1)&k
==
k)
相应的，n的对应部分为
:
1{*}1;
所以n&k
=
k。
当k-1的最后一位为1时:
则k-1的末尾必有一部分形如:
01;
(前面的0可以是附加上去的)
相应的，k的对应部分为
:
10;
相应的，n-1的对应部分为
:
01;
(若为11，则(n-1)&k
==
k)
相应的，n的对应部分为
:
10;
所以n&k
=
k。
由3),4)得出当c(n,k)为奇数时，n&k
=
k。
综上，结论得证!

温馨提示：内容为网友见解，仅供参考

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