数学本质

数学的本质？

现代数学在方法上最明显的特色是它的演绎性，就是由基本定义与公理出发，经逻辑推论到所有定理的发展方式。采取这种方法并非偶然，而是有内在的需求。我们要把一套概念讲清楚，必须用比较简单的概念来解释，但是这些概念又需要再加澄清，如此继续下去，如果不曾周而复始得到一个什么也说不清的恶性循环，便会无限延伸下去，达到一个不可知的前端。人类寻求知识的目的在组织自己对外在的认识，而去了解事物的表像与本质，因此在没有坠入不可知的深渊前，必定会在某些我们直觉已认为意义相当清晰的概念处停住。我们把这些概念作为理论发展的基础，不再去解释它们的意义，也就是说暂时抛开它们的具体内容。这些概念我们称为基础概念。从此以后在我们理论发展的过程中，一切的概念都要由这些基础概念定义出，否则便不能采用。基础概念间如果彼此毫无关联，显然无法用来建立起一套有意义的理论，那么在联系起基础概念的叙述中，我们又必须挑出一些在认识上感觉最明白的作为出发点，这些叙述我们称为公理。自此我们便用逻辑的方法，由基础概念与公理演绎出所有的定理，而一切不能由这个程序推得的叙述，我们便不认为它是这套理论里正确的命题。现代数学中各门理论，基本上都是由这个演绎方法组织起的。不过比较复杂的理论，除了自己的基础概念及公理外，常常要引用别的理论的结果。所以严格说起来，那些理论的基础概念及公理也必须包括进来。但是为表达的简明，我们通常不这样全套写出。譬如大部分的理论都引用集合论的概念与定理，而一切数学理论系统必须立足于逻辑系统上，否则便无法作推论了。
现在我们来看一个极简单的演绎系统。
倘若我们想了解线段全等的一般性质，我们可用两个基础概念：S（所有线段的集合）， =（全等关系）。我们有两条公理：
公理一：
对于 S 中任何元素 x 而言，x=x 。
公理二：
对于 S 中任何元素 x,y,z 而言，若x=y且y=z，则x=z。
这套小理论当然已引用了逻辑与集合论中的概念，所以严格说起来已相当繁杂了。现在我们来证明一小定理：
定理：
对 S 中任何元素 x,y 而言，若x=y则y=x。
证明：若令公理二中的 z 为 y，便知x=y且y=y，则y=x。但是公理一告诉我们y=y，已有的假设告诉我们x=y，故可证得y=x。
由上面的简单证明可看出，事质上 S 是不是所有线段的集合，「=」是不是线段全等的关系并不要紧。对于任意给的集合 S 及其上的二元关系「=」，只要它们满足公理一、二，则定理自然成立。例如我们可令 S 为所有自然数的集合，「=」指同余于某个模数的关系。
前面说过在演绎系统中，基础概念原来的具体内容已抛弃，所以我们可用其它的具体事物来解释它，任何这种解释如果又满足所有公理，则我们说这套解释构成原来理论的一个模型。上面的观察告诉我们一旦定理得证，则此定理在任何模型中也成立，我们就不需要在各个具体的系统中重复同样的证明了。
总结来说，演绎方法是组织起数学知识的最好方法。因为他可以极大程度的消去我们认识上的不清与错误，如果有怀疑的余地，也都回归到对基础概念及公理的怀疑。而且定理函盖了种种的具体特例，精简与组织了我们对外在世界的认识。

参考资料：李国威

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