n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。
证明过程：
（1）必要性
设有可逆矩阵P，使得
令矩阵P的n个列向量为
则有
因而
为线性无关的非零向量，它们分别是矩阵A对应于特征值
（2）充分性。
由必要性的证明可见，如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，设它们为
即
推论
若n阶矩阵A有n个不同的特征值，则A必能相似于对角矩阵。
说明：当A的特征方程有重根时．就不一定有n个线性无关的特征向量，从而未必能对角化。
扩展资料
对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵，常写为diag（a1，a2,...,an) 。对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种，值得一提的是：
对角线上的元素可以为 0 或其他值，对角线上元素相等的对角矩阵称为数量矩阵；对角线上元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵。对角矩阵的运算包括和、差运算、数乘运算、同阶对角阵的乘积运算，且结果仍为对角阵。
则Ax1 =s1 x1, Ax2=s2x2 ..., Axn = snxn
或A(x1,x2,...,xn) = (x1,x2,...,xn)diag (s1, s2,...,sn)
diag(s1, s2,...,sn)表示(s1, s2,...,sn)为对角元素的方阵
因为x1,x2,...,xn线性无关，所以矩阵(x1,x2,...,xn)满秩可逆
所以
(x1,x2,...,xn)'A(x1,x2,...,xn) = diag(s1,s2,...sn)
其中(x1,x2,...,xn)'为(x1,x2,...,xn)的逆矩阵本回答被提问者和网友采纳
A是n阶矩阵,证明A有n个线性无关的特征向量时, A可对角化。求大神讲...
由必要性的证明可见，如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，设它们为 对应的特征值分别为 则有 以这些向量为列构造矩阵 则P可逆，且 其中C如下：即 推论 若n阶矩阵A有n个不同的特征值，则A必能相似于对角矩阵。说明：当A的特征方程有重根时．就不一定有n个线性无关的特征向量，从而未必能对角化。
n阶方阵A有n个不同特征值是A与对角阵相似的什么条件
矩阵 A 为 n 阶矩阵，且若 A 有 n 个不同的特征值，则 A 必定具有 n 组线性无关的特征向量。这里，线性无关性意味着任意一组特征向量，除以非零标量外，不能由其他组特征向量线性表示。此性质对于 A 可相似对角化至关重要。特征值的定义意味着存在非零向量 v，使得 Av 等于特征值 λ 乘以 ...
...A能对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量”?
当然qingshi0902说的一个是很重要结论：n阶实矩阵可对角化的充要条件是有n个线性无关的特征向量。（这里不依赖特征值的情况，可以有重的也可以没有，当然，我们知道一个重的特征向量的重数必不小于其对应的线性无关特征向量的个数，这是另一个话题，这里就不讨论了）首先我们来考虑下如果一个矩阵a...
n阶矩阵A的n个特征值互不相等,则A与对角矩阵相似?
但这只是A与对角矩阵相似的充分非必要条件，因为当n阶矩阵A有相同的特征值时，也能够有n个线性无关的特征向量，例如 A=1 2 2 2 1 2 2 2 1 其特征值为5,-1,-1,它有两个特征值-1，而A为实对称矩阵，显然可以对角化。
为什么n阶矩阵有n个不同的特征值可以对角化
综上所述，实对称矩阵在实数域内具有n个特征值，并保证了每个特征值对应n个无关的特征向量，构成了对角化过程的基石。通过这一性质，实对称矩阵能够被有效地对角化，简化了线性代数中的运算，对理解矩阵性质和线性变换提供了重要帮助。
...n阶矩阵A可以对角化的充要条件为A有n个线性无关特征向量
定理:n阶矩阵A可以对角化的充要条件为A有n个线性无关特征向量 <=> k重特征值有k个线性无关的特征向量 而 对k重特征值λ, 属于特征值λ的特征向量是齐次线性方程组 (A-λE)x=0 的非零解 所以属于特征值λ的线性无关的特征向量的个数为 n-r(A-λE) --基础解系所含向量的个数 所以...
一般的矩阵什么情况下可以对角化
n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.
...对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
所以，A具有n个线性无关的特征向量。注：因为上面的过程是我自己手工打上去的，好多符号百度都打不出来，将就能看懂就好，其中*表示的是一个n阶对角矩阵，对角线上的矢量分别为入1，入2……入n n阶矩阵在复数范围内，一定有n个特征值（重特征值按重数计算个数），从这个意义上说，矩阵的特征值个...
...对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量?
必要性：n阶矩阵A能对角化 → A有n个线性无关的特征向量。证明：∵ n阶矩阵A可以对角化，由对角化的定义，一定存在可逆阵P使得P^-1AP=Λ，∴ Λ为n阶对角阵且对角元素均为A的特征值，对于这n个特征值中的每一个，一定可以从特征多项式中找到属于自己的特征向量，∵ 特征向量彼此属于不同的特征...
n阶矩阵A的n个特征值互不相同是A可以对角化的充分条件?
确实是n阶矩阵A有n个线性无关向量可以推出A可以对角化。但n阶矩阵A的n个特征值互不相同时，每个特征值各取一个特征向量就找到了n个线性无关的特征向量（对应于不同特征值的特征向量是线性无关的），所以A一定可以对角化。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！
