方法一：标准球坐标
x²+y²+(z-a)² = a²
x²+y²+z² = 2az
x = r sinφ cosθ
y = r sinφ sinθ
z = r cosφ
dV = r²sinφ drdφdθ
Ω方程变为：r = 2acosφ
由于整个球面在xOy面上，所以0 ≤ φ ≤ π/2
∫_(Ω) (x²+y²+z²) dV
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π/2) sinφ dφ ∫(0,2acosφ) r² * r² dr
= (2π)∫(0,π/2) sinφ * (1/5)(32a⁵cos⁵φ) dφ
= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)∫(0,π/2) cos⁵φ d(cosφ)
= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)(1/6)[ cos⁶φ ]|(0,π/2)
= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)(1/6)(0 - 1)
= 32πa⁵/15
方法二：广义球坐标
x = r sinφ cosθ
y = r sinφ sinθ
z = a + r cosφ
dV = r²sinφ drdφdθ
Ω方程变为：r = a
∫_(Ω) (x²+y²+z²) dV
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r²sin²φ+(a+rcosφ)²) * r² dr
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r² + (2arcosφ + r²cos²φ)) * r² dr
后面2arcosφ* r²部分的积分应该等于0
剩下r² * r²就好算了
方法三：平移，其实跟广义极坐标一样原理
x = u
y = v
z = a + w
dV = dudvdw
Ω方程变为：u²+v²+w² = a²
∫_(Ω) (x²+y²+z²) dV
= ∫_(Ω') (u²+v²+(a+w)²) dudvdw
= ∫_(Ω') (u²+v²+w²+a²) dudvdw + ∫_(Ω') 2aw dudvdw
后面那个利用对称性得结果为0，前面的可直接用球坐标
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r²+a²) * r² dr
= (2π)(2)(8a⁵/15)
= 32πa⁵/15
如何利用球面坐标计算下列三重积分?
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r² + (2arcosφ + r²cos²φ)) * r² dr 后面2arcosφ* r²部分的积分应该等于0 剩下r² * r²就好算了 方法三：平移，其实跟广义极坐标一样原理 x = u y = v z = a + w ...
球坐标解三重积分
1、直接计算法 对于较简单的积分问题，可以直接套用积分的计算公式进行计算。例如，对于一个单变量的函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，可以直接使用定积分公式进行计算，即 ∫(上限b下限a)f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的原函数。2、换元法 换元法是一种常用的积分计算方法，适用...
球坐标下一道三重积分的计算,求带步骤解答
用球面坐标，得到 原式=∫〔0到π\/2〕dt∫〔π\/4到π\/2〕dg∫〔0到cosg\/(sing)^2〕【rsingcost*rsingsint*rcosg】*rrsingdr =∫〔0到π\/2〕cost*sintdt∫〔π\/4到π\/2〕(sing)^3*cosg【(cosg)^6\/(sing)^12】\/6dg =(1\/12)∫〔π\/4到π\/2〕【(cosg)^7\/(sing)^9】d...
球面坐标系下三重积分难题
简单分析一下，答案如图所示
利用球面坐标计算三重积分
坐标变换：x=rsinacosb，y=rsinasinb，z=rcosa，0<=r<=1,0<=a<=pi\/2,0<=b<=pi\/2。原积分=积分（从0到1）dr积分（从0到pi\/2）da 积分（从0到b）r^3sin^3acos^3b*rsinasinb*rcosa*r^2sinadb =积分（从0到1）r^7dr 积分（从0到pi\/2）sin^5acosa da 积分（从0到pi\/2...
球面坐标系中三重积分的计算方法
利用球面坐标计算三重积分时，角φ的范围必是[0，π]，角θ必是[0，2π]，因为数据是根据积分区域的形状而定的。如果需要为每个点定义一组唯一的球面坐标, 则必须限制它们的范围。在不改变角度的情况下，增加或减去任意数量倍的 ，从而不改变角点。在许多情况下，允许负径向距离也很方便,，该惯例是...
请用球面坐标计算三重积分
这是一个由球面和圆锥面所围成的闭合空间 利用球面坐标 0=<θ<=2Pai 0<=φ<=arctan2 0<=r<=根号5 积分区域顶出后 累次积分即可 其中体积微元等于dv=r^2sinφdrdφdθ
怎样用球坐标计算三重积分?
通常三重积分的球面面积元是 dS = r² sinθ dθ dφ 也就是 dS = (r sinθ dθ) (r dφ)其中φ是面积元位置矢量在xy平面上的投影和x轴正方向的夹角；θ是面积元矢量和z轴正方向的夹角。推导过程需要对球坐标系有个整体了解。你还是自己到高等数学或者数学分析的书里查查吧，大学...
球坐标系中三重积分如何求?
球面坐标系法适用于被积区域Ω包含球的一部分。区域条件：积分区域为球形或球形的一部分，锥面也可以；函数条件：f（x,y,z）含有与x2+y2+z2相关的项。如果空间闭区域G被有限个曲面分为有限个子闭区域，则在G上的三重积分等于各部分闭区域上三重积分的和。
三重积分球面坐标公式是什么?
三重积分球面坐标公式是：1、球面：x^2+y^2+z^2=R^2，球心在（0，0，0)，半径为R。球面坐标系下方程为r=R，x^2+y^2+z^2=2Rz。2、圆柱面：x^2+y^2=R^2。3、圆锥面：z=√（x^2+y^2)，半顶角为π／4。球面坐标系下方程为Φ＝π／4。4、抛物面：z=x^2+y^2。5、平面：...
