十字相乘法的原理及运用

数学论文，1500字以上，分点阐述，内容正确

⒈十字相乘法概念　　十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1�6�1a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1�6�1c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。 基本式子：x²+（p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
　　 例题
　　例1 把2x^2-7x+3分解因式.
　　分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分
　　别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
　　分解二次项系数(只取正因数)：
　　2＝1×2＝2×1；
　　分解常数项：
　　3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
　　用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
　　1 1
　　╳
　　2 3
　　1×3+2×1
　　=5
　　1 3
　　╳
　　2 1
　　1×1+2×3
　　=7
　　1 -1
　　╳
　　2 -3
　　1×(-3)+2×(-1)
　　=-5
　　1 -3
　　╳
　　2 -1
　　1×(-1)+2×(-3)
　　=-7
　　经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.
　　解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1).
　　一般地，对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：
　　a1 c1
　　� ╳
　　a2 c2
　　a1c2+a2c1
　　按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
　　ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
　　像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.
　　例2 把6x^2-7x-5分解因式.
　　分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种
　　2 1
　　╳
　　3 -5
　　2×(-5)+3×1=-7
　　是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.
　　解 6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5)
　　指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.
　　对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+2x-15分解因式，十字相乘法是
　　1 -3
　　╳
　　1 5
　　1×5+1×(-3)=2
　　所以x^2+2x-15=(x-3)(x+5).
　　例3 把5x^2+6xy-8y^2分解因式.
　　分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y^2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即
　　1 2
　　�╳
　　5 -4
　　1×(-4)+5×2=6
　　解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y).
　　指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.
　　例4 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.
　　分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.
　　问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
　　答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.
　　解 (x-y)(2x-2y-3)-2
　　=(x-y)[2(x-y)-3]-2
　　=2(x-y) ^2-3(x-y)-2
　　=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
　　=(x-y-2)(2x-2y+1).
　　1 -2
　　╳
　　2 1
　　1×1+2×(-2)=－3
　　指出：把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.
　　例5 x^2+2x-15
　　分析：常数项(-15)<0，可分解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3)
　　(-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。
　　=(x-3)(x+5)
　　总结：①x^2＋（p+q）x＋pq型的式子的因式分解
　　这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋(p+q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)
　　②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解
　　如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么
　　kx^2＋mx＋n＝(ax+b)(cx+d)
　　a b
　　╳
　　c d
　　 通俗方法
　　先将二次项分解成（1 X 二次项系数），将常数项分解成（1 X 常数项）然后以下面的格式写
　　1 1
　　X
　　二次项系数 常数项
　　若交叉相乘后数值等于一次项系数则成立 ，不相等就要按照以下的方法进行试验。（一般的题很简单，最多3次就可以算出正确答案。）
　　需要多次实验的格式为：（注意：此时的abcd不是指（ax^2+bx+c）里面的系数，而且abcd最好为整数）
　　a b
　　╳
　　c d
　　第一次a=1 b=1 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
　　第二次a=1 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
　　第三次a=2 b=1 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
　　第四次a=2 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
　　第五次a=2 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
　　第六次a=3 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
　　第七次a=3 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
　　......
　　依此类推
　　直到（ad+cb=一次项系数）为止。最终的结果格式为(ax+b)(cx+d)
　　例解：
　　2x^2+7x+6
　　第一次：
　　1 1
　　╳
　　2 6
　　1X6+2X1=8 8>7 不成立 继续试
　　第二次
　　1 2
　　╳
　　2 3
　　1X3+2X2=7 所以 分解后为:(x+2)(2x+3) [编辑本段]⒉十字相乘法（解决两者之间的比例问题）　　 原理
　　一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设A有X，B有（1-X）。
　　AX+B（1-X）=C
　　X=(C-B)/(A-B)
　　1-X=(A-C)/(A-B)
　　因此：X∶（1-X）=（C-B）∶(A-C)
　　上面的计算过程可以抽象为：
　　A ………C-B
　　……C
　　B……… A-C
　　这就是所谓的十字相乘法。
　　 十字相乘法使用时的注意
　　　第一点：用来解决两者之间的比例问题。
　　第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。
　　第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。
　　
　　 例题
　　某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%，其中本科毕业生比上年度减少2%，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校今年毕业的本科生有多少人？
　　十字相乘法
　　解：去年毕业生一共7500人，7650÷（1+2%）=7500人。
　　本科生：-2%………8%
　　…………………2%
　　研究生：10%……… 4%
　　本科生∶研究生=8%∶4%=2∶1。
　　7500×2/3=5000
　　5000×0.98=4900
　　这所高校今年毕业的本科生有4900人。 [编辑本段]3.十字相乘法解一元二次方程　　(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x^2+3x=0
　　(3) 6x^2+5x-50=0 (4)x^2-2( + )x+4=0
　　(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
　　x^2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)
　　(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
　　∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
　　∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
　　(2)解：2x^2+3x=0
　　x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
　　∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
　　∴x1=0，x2=-3/2是原方程的解。
　　注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
　　(3)解：6x^2+5x-50=0
　　(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
　　∴2x-5=0或3x+10=0
　　∴x1=5/2, x2=-10/3 是原方程的解。
　　(4)解：x^2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）
　　(x-2)(x-2 )=0
　　∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
　　 例题
　　x^2-x-2=0
　　解：(x+1)(x-2)=0
　　∴x+1=0或x-2=0
　　∴x1=-1,x2=2

扩展阅读： 1..十字相乘法能把某些二次三项式ax2+bx+c(a≠0)分解因式。这种方法的关健是把二次项的系数a分解成两个因数a1,a2的积a1�6�1a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1�6�1c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。 2..例:x2+2x-15 3..分析：常数项(-15)<0，可分解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3)(-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。 4..=（x-3）（x+5)

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