设函数f(x)是奇函数,当x∈[-2,0]时,f(x)=1/3x^3+x^2-2...
设函数f(x)是奇函数,当x∈[-2,0]时,f(x)=1/3x^3+x^2-2ax(a为实数) (1)若f(x)在x=-1处有极值,求a的值. (2)求x∈(0,2],f(x)的解析式. (3)若f(x)在[3/2,2]是增函数,求a的取值范围.
(1)f'(x)=x²+2x-2a
∵
f(x)在x=-1处有极值
∴f'(-1)=1-2-2a=0
∴a=-1/2
(2)
∵
函数f(x)是奇函数
∴f(x)=-f(-x)
∴f(-x)=-1/3x^3-x^2+2ax
∴
当x∈(0,2],f(x)=1/3x^3-x^2-2ax
3)由(2)得在x∈[3/2,2],f(x)=1/3x^3-x^2-2ax
f'(x)=x²-2x-2a=(x-1)²-2a-1
若f(x)在x∈[3/2,2]是增函数,则f'(x)≥0
即(x-1)²-2a-1≥0
当x=3/2时,f'(x)有最小值为-2a-3/4
∵f'(x)≥0
∴f'(x)min≥0
即-2a-3/4≥0
∴a≤-3/8
∵
f(x)在x=-1处有极值
∴f'(-1)=1-2-2a=0
∴a=-1/2
(2)
∵
函数f(x)是奇函数
∴f(x)=-f(-x)
∴f(-x)=-1/3x^3-x^2+2ax
∴
当x∈(0,2],f(x)=1/3x^3-x^2-2ax
3)由(2)得在x∈[3/2,2],f(x)=1/3x^3-x^2-2ax
f'(x)=x²-2x-2a=(x-1)²-2a-1
若f(x)在x∈[3/2,2]是增函数,则f'(x)≥0
即(x-1)²-2a-1≥0
当x=3/2时,f'(x)有最小值为-2a-3/4
∵f'(x)≥0
∴f'(x)min≥0
即-2a-3/4≥0
∴a≤-3/8
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