一．基本概念和知识
1．公因数和最大公因数
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
2．公倍数和最小公倍数
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
3．互质数
如果两个数的最大公因数是1，那么这两个数叫做互质数。
二．例题
例1：用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？
分析
∵
要求的数去除30、60、75都能整除，
∴
要求的数是30、60、75的公因数。
又∵
要求符合条件的最大的数，
∴
就是求30、60、75的最大公因数。
解：（30，60，75）＝15
所以，这个数最大是15。
例2：一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？
分析
由题意可知，要求求的数是3、4、5的公倍数，且是最小公倍数。
解：∵
[3，4，5]
＝60，
∴
用3、4、5除都能整除的最小的数是60。
例3：有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米。现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？
分析
∵
要截成相等的小段，且无剩余，
∴
每段长度必是120、180、300的公因数；
又∵
每段要尽可能长，
∴
要求的每段长度就是120、180、300的最大公因数。
解：∵
（120，180，300）＝60，
∴
每小段最长60厘米。
120÷60＋180÷60＋300÷60=2＋3＋5＝10（段）
答：每段最长60厘米，一共可以截成10段。
1．公因数和最大公因数
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
2．公倍数和最小公倍数
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
3．互质数
如果两个数的最大公因数是1，那么这两个数叫做互质数。
二．例题
例1：用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？
分析
∵
要求的数去除30、60、75都能整除，
∴
要求的数是30、60、75的公因数。
又∵
要求符合条件的最大的数，
∴
就是求30、60、75的最大公因数。
解：（30，60，75）＝15
所以，这个数最大是15。
例2：一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？
分析
由题意可知，要求求的数是3、4、5的公倍数，且是最小公倍数。
解：∵
[3，4，5]
＝60，
∴
用3、4、5除都能整除的最小的数是60。
例3：有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米。现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？
分析
∵
要截成相等的小段，且无剩余，
∴
每段长度必是120、180、300的公因数；
又∵
每段要尽可能长，
∴
要求的每段长度就是120、180、300的最大公因数。
解：∵
（120，180，300）＝60，
∴
每小段最长60厘米。
120÷60＋180÷60＋300÷60=2＋3＋5＝10（段）
答：每段最长60厘米，一共可以截成10段。
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