首先,根据
泰勒级数展开我们知道:
1/(1-x) = 1-x+(x^2)-(x^3)+(x^4)... ;(1); “...”表示一直到无穷
对(1)求导得:
-1/((1+x)^2)=-1+2x-3(x^2)+4(x^3)... 将等式两边同乘-1 得:
1/((1+x)^2)=1-2x+3(x^2)-4(x^3)... ;(2)
将x=1带入等式(2)得到:
1-2+3-4+5-6... =1/4 ; (3)
现令S(x)=(1^x)+(2^x)+(3^x)+... 可以发现 所求和 1+2+3+4+... = S(1)
S(x)=(1^x)+(2^x)+(3^x)+... ; (4)
(2*(2^x))*S(x)=2*((2^x)+(4^x)+(6^x)+...) ; (5)
(4)-(5) 得:
(1-2*(2^x))*S(x)=(1^x)-(2^x)+(3^x)-(4^x)...
在(1-2*(2^x))不等于0的情况下 (即 x不等于 -1)
S(x)=((1^x)-(2^x)+(3^x)-(4^x)...)/(1-2*(2^x))
令 x=1 则:
S(1)=(1-2+3-4+5-6...)/(1-4) ; (6)
将(3)带入(6)得到:
S(1)=(1/4)/(-3)=-1/12 ; (7)
即 1+2+3+4+... = -1/12
一般来说有限个正数的和不会是负数,但是当求和的数列是无穷个数的时候,就不能用想当然去理解了。
无穷大有很多有趣的性质,您可以找找相关资料,相信您一定会感兴趣的。