1、罗尔定理简述：f(a)=f(b),则在区间(a,b)上至少有一点ξ,使得f'(ξ)=0设f(x)=cosx-xsinx,则F(x)=∫f(x)dx=∫(cosx-xsinx)dx=xcosx+CF(x)在[0,π/2]上连续,在(0,π/2)上可导,且有F(0)=F(π/2)=0+C∴根据罗尔定理,在区间(0,π/2)上,至少存在一点ξ,使得 F'(ξ)=0而F'(x)=f(x),∴至少存在一点ξ,使得 f(ξ)=cosx-xsinx=0即 方程cosx-xsinx=0,在(0,π/2)内至少有一个实根ξ2、x^3+ysinx+e^y=1,两边取微分,可得3x^2dx+sinx*dy+ycosxdx+e^y*dy=0∴dy=(3x^2+ycosx)/(sinx+e^y)*dx3、y=(sinx)^2,dy=2sinx*dsinx=2sinxcosxdx=sin2xdx4、y=arctanx,x=ln(1+t^2),是求dy/dt吧?dy/dx=1/(1+x^2),dx/dt=2t/(1+t^2)dy/dt=dy/dx*dx/dt=1/(1+x^2)*2t/(1+t)^25、y=xe^(2x),dy/dx=e^(2x)+x*e^(2x)*2=(1+2x)e^(2x)d^2y/dx^2=2e^(2x)+(1+2x)e^(2x)*2=4(1+x)e^(2x)6、lim[(e^x-1)/sinx] x->0=lim[x/sinx] 等价无穷小替换：e^x-1~x=lim[1/(sinx/x)]=1/lim(sinx/x)=1/1 直接应用极限结果：lim(sinx/x)=1 (x->0)=1
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