高数求通解

如题所述

特征方程为s^2-4=0, s=2,s=-2，所以通解为c1 e^(2x)+c2e^(-2x)

设特解为ke^x，则y''=ke^x, y''-4y=(k-4)e^x, k=5

所以解为c1 e^(2x)+c2e^(-2x)+5e^x

非齐次的特解

设y*=e^(-x)(acosx+bsinx)

y*'=-e^(-x)(acosx+bsinx)+e^(-x)(-asinx+bcosx)

=e^(-x)(-acosx+bcosx-bsinx-asinx)

=e^(-x)[(-a+b)cosx-(a+b)sinx]

y*''=-e^(-x)[(-a+b)cosx-(a+b)sinx]+e^(-x)[(a-b)sinx-(a+b)cosx]

=e^(-x)(-2acosx-2bsinx)

定义

对于一个微分方程而言，其解往往不止一个，而是有一组，可以表示这一组中所有解或者部分解的统一形式，称为通解（general solution）。对一个微分方程而言，它的解会包括一些常数，对于n阶微分方程，它的含有n个独立常数的解称为该方程的通解。

求微分方程通解的方法有很多种，如：特征线法，分离变量法及特殊函数法等等。而对于非齐次方程而言，任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解，就可以得到非齐次方程的通解。