由继承财产的人负责偿还。
《继承法》第三十三条规定：“继承遗产应当清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务，缴纳税款和清偿债务以他的遗产实际价值为限。超过遗产实际价值部分，继承人自愿偿还的不在此限。继承人放弃继承的，对被继承人依法应当缴纳的税款和债务可以不负偿还责任。”
举例来说，若遗产实际价值50万，信用卡欠款是100万，继承人若选择继承遗产，也应当继承那50万的债务，对于剩下的50万债务，可以不还。
扩展资料：
案例：卡主去世后信用卡透支银行输掉追债官司
2000年10月，高女士（化名）在工商银行(601398,股吧)上海市第一支行办理了一张信用卡。2005年6月，高女士因病去世。但自从2006年11月起，即高女士去世5个月之后，高女士的信用卡发生了多起透支消费，累计金额达5900余元。
随后，工行上海市第一支行向高女士进行了多次催债行为，催讨过程中，银行得知高女士已经去世，同时得知高女士的儿子林先生是其遗产的法定继承人，因此，银行以“按照法律规定应当以林先生继承的遗产来偿还高女士所欠债务”为由，将林先生告上法庭，并要求林先生偿还信用卡透支金额4900余元，透支利息1000余元。
上海市长宁区法院表示，根据查明的事实，本案信用卡透支款发生的时间在2006年11月之后，而持卡人高女士在2005年6月已经死亡，即透支消费行为是发生在高女士死亡之后，所以不可能是她本人所为。
法院认为，作为原告，工行上海市第一支行主张被告林先生应以他所继承的高女士遗产来偿还债务，这一请求缺乏相应的事实及法律依据，法院难以支持；同时，原告银行也未能举证证明信用卡透支行为系被告林先生所为，所以被告林先生对信用卡的透支行为不承担责任。据此，依法作出判决，驳回银行的请求。
参考资料来源：和讯网-持卡人亡故 那些信用卡欠款和继承人有什么关系
持卡人死亡后，若没人告知，银行通常不能很快将持卡人死亡信息计入系统。但持卡人死后信用卡失去应有的持卡人保护，一旦卡又发生透支情况，会给家属和银行带来不必要的麻烦。所以这还需要家属做好善后工作，到银行查询一下相关信息，办理销卡手续为妥。
前提是没有留下需要办理继承的遗产 房产等
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