在大学里学数学是一种怎样的体验

如题所述

如果是绕Y轴旋转,你可以先画出图形,是一个中心凹陷、中间凸起、边缘光滑过度的一个东东,它的体积有两种算法:一种是微薄片圆筒法求积,沿半径方向从0积到π,就是你写出来的这种解法,薄片圆筒的体积为底面积乘高,底面积为2πxdx,高为y=sinx,因此其微元体积为dV=2πxdx*sinx,然后将x从0积到π就行了.还有一种办法是截面法,就是用平行于xoz面(曲线为xoy面,设垂直于xoy面的方向为z轴方向)的相邻很近的两个平面来截该物体(也就是说用垂直于纸面即xoy面且平行于x轴的平面来截该物体),则得到一个薄圆环,横截面为一个圆环,圆环内径为x=arcsiny,外径为π-x=π-arcsiny,于是截面法得到的薄圆环的微体积为dV=π[(π-arcsiny)^2-(arcsiny)^2]dy,故其体积
V=∫dV=∫(0,1)π[(π-arcsiny)^2-(arcsiny)^2]dy=∫(0,1)π(π^2-2πarcsiny)dy=
π^3-2π^2∫(0,1)arcsinydy=π^3-2π^2*[yarcsiny|(0,1)-∫(0,1)y*1/√(1-y^2)dy]=
π^3-2π^2*[π/2+∫(0,1)1/2*1/√(1-y^2)d(1-y^2)]=π^3-2π^2*[π/2+√(1-y^2)|(0,1)=
π^3-2π^2*(π/2-1)=2π^2
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