取后3列3阶行列式：
-1 -3 -1
3 1 -3
5 -1 -8
经计算得8+3+45+5+3-72=-8不等于零，故矩阵的秩不小于3，又矩阵的秩不能大于矩阵的行数3，故矩阵的秩为3。
例如：
用初等行变换后得到：
1 0 5/7 -1/7 0
0 1 -11/7 -9/7 0
0 0 0 0 1
可见，矩阵的秩=3，最高阶非零子式可选 第1,2，5列。如
3 2 -1
2 -1 -3
7 0 -8
或第1，3，5 列，或第1，4，5列。
相关定义
定义1、在m*n矩阵A中，任意决定α行和β列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。
例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。
定义2、A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。
特别规定零矩阵的秩为零。
显然rA≤min(m,n) 易得：
若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。
取后3列3阶行列式
-1 -3 -1
3 1 -3
5 -1 -8
经计算得8+3+45+5+3-72=-8不等于零，故矩阵的秩不小于3，又矩阵的秩不能大于矩阵的行数3，故矩阵的秩为3。
例如：
用初等行变换后得到：
1 0 5/7 -1/7 0
0 1 -11/7 -9/7 0
0 0 0 0 1
可见，矩阵的秩=3，最高阶非零子式可选 第1,2，5列。如
3 2 -1
2 -1 -3
7 0 -8
或第1，3，5 列，或第1，4，5列。
扩展资料：
初等变换不改变矩阵的秩。
如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。
矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};
设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。
当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。
当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零） 。
参考资料来源：百度百科-矩阵的秩
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