一、动态裂纹产生与扩展的理论分析
在外力作用下，材料的破坏过程一方面是由于材料内部已存在的裂纹被激活扩展，另一方面材料内部的应力超过了材料的抗拉或抗剪强度而导致材料被拉断或剪坏。对于岩石等抗压强度远远大于抗拉和抗剪强度的脆性材料，破坏的主要形式为拉伸破坏和剪切破坏。
材料的破坏过程是裂纹在外力作用下不断产生、聚集和汇合的过程。在流形程序中采用不同的标准判断新裂纹的起裂和已存在裂纹的扩展。对于已存在的裂纹的是否扩展采用断裂力学的应力强度因子判据；对于新裂纹的起裂，采用摩尔—库仑准则作为裂纹起裂的判据，其判断方法如下（Guo-xin Zhang et al.，1999；Zhang G X et al.，1997，1999）：
（1）当第一主应力大于材料的抗拉强度时，材料被拉伸破坏，产生新裂纹；
（2）当最大切应力大于材料的抗剪强度时，材料被剪切破坏，产生新裂纹。
若用σ1、σ3分别表示第一和第三主应力，则以上判断标准可以表示如下：
拉伸破坏：σ1=T0。
当出现以下两种情况时材料出现剪切破坏：
岩石断裂与损伤
其中：T0为材料抗拉强度；C为黏结力；φ为摩擦角。
当材料中产生了初始裂纹后，裂纹的扩展方向和扩展判据问题就可以根据断裂力学中相应的理论，即式（12-13）和式（12-17）来进行计算和判断。
二、对大变形及接触问题的处理
当材料在外力作用下产生裂纹后，裂纹就会把岩石切割成相应的块体，这些块体在外力的作用下将产生运动，在对块体运动过程的模拟中，一定要保证块体之间无嵌入和无拉伸，这一过程是通过反复的开-合迭代，即在可能接触的边界之间施加和移去弹簧来实现的。块体间在边界处有张开、锁定和滑移三种状态，当边界从张开发展到锁定时加法向和切向弹簧；当边界从滑动到锁定时加切向弹簧；当边界之间滑动时在边界两侧加摩擦力，从而对刚度矩阵作出修正，并计算接触力叠加于本次计算的平衡力列阵中，参加下一次迭代计算。
三、算例分析
下面通过Hopkinson破裂试验模拟算例对冲击载荷作用下动态裂纹的产生、扩展及裂纹贯通后形成的块体运动过程进行模拟。
应力波在传播过程中如果遇到自由面，则入射的压缩波经反射后会形成拉伸波。同时这些反射回来的拉伸波将与入射压缩波的后续部分相互作用，其结果将有可能在自由表面附近产生拉应力，如果所产生的拉应力达到或超过了材料的动态断裂强度，则将引起材料的破坏，当破坏比较严重时，整块的裂片便会携带其中的动量而飞散。这种由于压应力在自由表面反射造成的动态断裂称为剥落或破裂。这种破裂现象主要发生在拉伸强度远低于其抗压强度的材料，如岩石、混凝土等。最早发现这种动态剥落现象的是Hopkinson，因此这种破坏现象也称为Hopkinson破裂（戴俊，2002）。破裂过程如图12-10所示，在材料的一端施加一爆炸载荷，则在它的另一端将产生如图所示的剥落现象。
图12-10 Hopkinson动态破裂试验
取计算模型如图12-11（a）所示，岩石杆长为3m，宽为0.3m。杆左端施加一沿整个端面均匀分布的冲击三角波载荷来模拟爆炸产生的荷载，冲击载荷的升压时间为80μs，降压时间为220μs，整个荷载作用时间为300μs，载荷的最大峰值压力为108Pa。材料的动态弹性模量E=30GPa，动态泊松比为0.10，密度为2164kg/m3，材料的摩擦角、黏结力和动态抗拉强度分别取为：60°、2.9MPa和4.0MPa，动态断裂韧性为：0.05MN/m3/2。计算结果如图12-11（b）所示。
以入射三角波为例来说明产生Hopkinson破裂的力学原因，假设其应力峰值为σ0，图12-12中所示的是波已经反射三分之一波长的瞬间，反射波向左运动与入射应力波的部分叠加而合成为拉伸应力AB，若此时的合成拉伸应力大于或等于材料的抗拉强度时，材料就会被拉断，形成剥落（戴俊，2002；宋守志，1989）。如果设该三角波的波长为λ，应力波传播速度为C0，则在任一时刻t（t是从应力波到达自由面后开始反射的瞬间计时）合成后的应力值为
岩石断裂与损伤
若假设材料的动态断裂强度为σtd，则当时，产生首次破裂，由此可求出首次出现破裂的时间t（从反射开始计时）和层裂片厚度δ分别为
岩石断裂与损伤
将模型参数代入式（12-37）计算得：t=0.06ms，加上应力波从杆端传到尾部的时间0.8ms，考虑应力波增压段的时间0.22ms，可得到首次出现破裂的时间为1.026ms，而计算结果为1.1ms，二者的结果很接近。同理，可计算出裂片的厚度δ=0.23m，而计算结果中，首次出现裂纹的位置距右端面的距离为0.25m，所以二者的结果也很接近。上述计算说明数值流形方法的模拟结果与理论分析和试验结果是比较吻合的。
对Hopkinson破裂试验的模拟结果表明，数值流形方法可以模拟介质在外力作用下连续变形和不连续变形，且计算效率高。
图12-11 模型及计算结果示意图
图12-12 三角波从自由面反射时的应力叠加
