矩阵相似与矩阵合同有什么区别

矩阵相似与矩阵合同具体的不同点在于：

矩阵相似的例子中，P-1AP=B；针对方阵而言；秩相等为必要条件；本质是二者有相等的不变因子；可看作是同一线性变换在不同基下的矩阵；矩阵相似必等价，但等价不一定相似。

2. 矩阵合同的例子中，CTAC=B；针对方阵而言；秩相等为必要条件；本质是秩相等且正惯性指数相等，即标准型相同；可通过二次型的非退化的线性替换来理解；矩阵合同必等价，但等价不一定合同。

3. 总结：矩阵的相似和矩阵的合同都是由线性空间中坐标系的转换引起的。我们在线性空间中定义矩阵和向量的乘法，并将矩阵理解成线性空间中“运动”的施加，变换坐标系之后，同一个“运动”在不同坐标系下是相似的关系。我们在线性空间中定义向量的内积（或者说双线性型），同一个双线性型运算在不同坐标系下相差合同矩阵。之所以要换坐标系，就是为了在最简单的坐标系下看清问题的本质。

扩展资料

一.矩阵相似：

1.概念：

定义1设A,B都是n阶矩阵, 若存在 可逆矩阵P,使

P^(-1)AP=B,则称B是A的相似矩阵, 并称矩阵A与B 相似。记为A~B.

对进行运算称为对进行相似变换, 称可逆矩阵为相似变换矩阵.

矩阵的相似关系是一种等价关系，满足：

(1) 反身性: 对任意阶矩阵,有相似;

(2) 对称性: 若相似, 则与相似;

(3) 传递性: 若与相似, 则与相似。

2.性质：

定理:若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从 A与B的特征值亦相同.

相似矩阵的其它性质:

(1) 相 矩阵的秩相等;

(2) 相似矩阵的行列式相等;

(3) 相似矩阵具有相同的可逆性, 当它们可逆时,则它们的逆矩阵也相似。

二. 合同矩阵 ：

1.定义:同矩阵：设A,B是两个n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得则称 方阵A与B合同，记作。

在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。一般在线代问题中，研究合同矩阵的场景是在二次型中二次型用的矩阵是 实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。

2.性质：

合同关系是一个等价关系，就是说满足：1、 反身性：任意矩阵都与其自身合同；2、 对称性： A合同 B，则可以推出 B合同于 A；3、 传递性： A合同于B，B合同于C，则可以推出 A合同 C；4、合同矩阵的 秩相同。

3.矩阵合同的主要判别法：

（1）B均为复数域上的n阶对称矩阵,则A与B在 复数域上合同 等价于A与B的秩相同.

（2）B均为实数域上的 n阶对称矩阵,则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负的个数对应相等）。

参考资料

矩阵相似_百度百科合同矩阵_百度百科

矩阵相似与矩阵合同具体的不同点在于：

矩阵相似的例子中，P-1AP=B；针对方阵而言；秩相等为必要条件；本质是二者有相等的不变因子；可看作是同一线性变换在不同基下的矩阵；矩阵相似必等价，但等价不一定相似。

矩阵合同的例子中，CTAC=B；针对方阵而言；秩相等为必要条件；本质是秩相等且正惯性指数相等，即标准型相同；可通过二次型的非退化的线性替换来理解；矩阵合同必等价，但等价不一定合同。

总结：矩阵的相似和矩阵的合同都是由线性空间中坐标系的转换引起的。我们在线性空间中定义矩阵和向量的乘法，并将矩阵理解成线性空间中“运动”的施加，变换坐标系之后，同一个“运动”在不同坐标系下是相似的关系。我们在线性空间中定义向量的内积（或者说双线性型），同一个双线性型运算在不同坐标系下相差合同矩阵。之所以要换坐标系，就是为了在最简单的坐标系下看清问题的本质！

矩阵相似与矩阵合同的各自概况：

矩阵相似的概况：设A,B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使P^(-1)AP=B，则称B是A的相似矩阵, 并称矩阵A与B相似，记为A~B。对进行运算称为对进行相似变换，称可逆矩阵为相似变换矩阵。

矩阵相似的判断方法：判断两个矩阵是否相似的辅助方法，首先，判断特征值是否相等；其次，判断行列式是否相等；判断迹是否相等；最后判断秩是否相等。

矩阵合同的概况：在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。两个矩阵A和B是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵 C，使得C^TAC=B ,则称方阵A合同于矩阵B.一般在线代问题中，研究合同矩阵的场景是在二次型中。二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。