请证明等价的两个矩阵秩相等

如题所述

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相关建议 2020-02-12

2楼是错的，如果a,b行列式等于0，就不能说明秩相等，只能说明它们都不是满秩
设n阶矩阵a,b,由于a~b,存在可逆矩阵t(其逆矩阵为t',rank(t)=rank(t')=n)，使t'at=b,根据矩阵乘积的秩不大于各矩阵的秩
rank(b)≤min(rank(t'),rank(t),rank(a))=rank(a)
又有tbt'=a，同理可得rank(a)≤rank(b),故rank(a)=rank(b)

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其他看法

第1个回答 2020-05-01

知识点:
初等变换不改变矩阵的秩
可逆矩阵可以表示成初等矩阵的乘积
证明:
设A与B等价
则存在可逆矩阵P,Q满足
PAQ
=
B.
因为可逆矩阵可能表示成初等矩阵的乘积
故
P
=
P1....Ps,
Q
=
Q1....Qt
且有
P1....Ps
A
Q1....Qt
=
B.
初等矩阵左(右)乘A,
相当于进行相应的初等行(列)变换
而初等变换不改变矩阵的秩
所以
r(A)
=
r(P1....Ps
A
Q1....Qt)
=
r(B).