你不可能把所有的基础书都完整的读过来,
除非你研究生要做的东西是Langlands纲领。
1. 分析,学习顺序如下:
数学分析: 也就是实轴 R上的分析,
微积分复分析 : 复平面C上的分析,
实分析: 在区间的基础上,引入测度的概念,从测度上抽象定义积分。
泛函分析: 分析对象从可测集(区间)变成了可测集(区间)上的函数,
对函数集引入度量,研究函数函数空间的性质。
着重研究Banach空间和Hilbert空间,谱分解。
调和分析: 某空间上函数空间,与之对偶空间的性质,用测度、积分,谱方法来研究。
2.
代数与
拓扑抽象代数: 研究代数的具体结构,群、环、域、模,域的可分正规扩张——伽罗瓦扩张。
拓扑 : 定义在什么样的物体上可以进行所谓的测量,
严格的从数学的公理化出发进行定义。
微分几何:即黎曼几何,从某个对象上的光滑可微函数出发,以此为基础研究对象的几何学。
够作的物体称为manifold.
这种研究方法抛弃了坐标系,同样类似的还有代数几何,以代数中的公理为基础,
将对象上的函数看作代数对象,进行研究。
这种研究的一个先决条件是“可测”,也就是需要实分析和拓扑的基础知识。
李群: 研究某个具有manifold结构的群,在微分方法和代数方法之间不停转换。
3. 数论的主要研究分支
素数在
自然数中的分布,整数多项式的整数解,
哥德巴赫猜想;
代数数域的类数,有理数域中的Galois扩张与之对应的L-函数;
代数几何中曲线的整数解问题(主要是椭圆曲线);
4. Langlands纲领:
阿代尔整体数域在约化群上的自守表示的性质;
自守表示与自守L-函数之间的关系;
自守L-函数与数论L-函数的关系。
追问具体要怎样学,详细些
追答要是单纯以本科阶段考试达到85分为基准的话,
认真看书做题,到星期末记得去图书馆自习就可以了。
数学分析、拓扑、几何、实分析,
这些都是基础课程,不但要懂得做题,更重要的是一些思想是怎么来的。
另外,代数、分析、拓扑这三门,虽然同是数学,但其出发点不同,
尤其是拓扑和代数,这两门可以看做全新的东西。
国人一般分析学科都很强,代数和拓扑的知识面很弱,
要想将来研究代数几何之类的热门学科,记得多花功夫,
可以闲暇阶段读一些数学史书或一些数学家的故事,如 古今数学思想等等
至于研究生阶段的一些专业书,没什么好方法,拿过书来看就可以了。
根据内容的不同,一本书有可能会看半年,有可能两年也看不完。