设f（x）在【0,1】上连续且∫(0,1)f(x)dx=A,证明∫(0,1)dx∫(x,1)f(x)f(y)dy=A∧2/2，谢谢！

如题所述

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相关建议 2011-08-28

è®¾â«<0,x>f(x)dx=F(x),åF(0)=0,F(1)=A,
â«<0,1>[â«<x,1>f(x)f(y)dy]dx
=â«<0,1>f(x)[â«<x,1>dF(y)] dx
=â«<0,1>[A-F(x)]dF(x )
=Aâ«<0,1>f(x)dx -(A^2)/2
=(A^2)/2

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第1个回答 2011-08-28

∫(0,1)dx∫(x,1)f(x)f(y)dy
=∫(0,1)dy∫(0,y)f(x)f(y)dx
=∫(0,1)f(y)dy[∫(0,1)f(x)dx+∫(1,y)f(x)dx]
=∫(0,1)f(y)dy∫(0,1)f(x)dx+∫(0,1)f(y)dy∫(1,y)f(x)dx
=A∫(0,1)f(y)dy-∫(0,1)f(y)dy∫(y,1)f(x)dx
=A²-∫(0,1)dx∫(x,1)f(x)f(y)dy
所以∫(0,1)dx∫(x,1)f(x)f(y)∫dy=A²/2