设函数f(x)在[0,1]上可导,对于[0,1]上每一点x,都有0<f(x)<1,且f(x)的一阶导数不等于1,证明,在(0,1)内

有且仅有一个ξ,使f(ξ)=ξ

令 F(x) = f(x) - x, F(0) > 0, F(1) < 0, F(x)在[0,1]上可导=>连续,
故至少在(0,1)内有一点ξ,使得 F(ξ) = 0, 即 f(ξ) = ξ.
下面用反证法证明 ξ 只有一个。
假设存在ξ1,ξ2∈(0,1) , F(ξ1) =0, 且 F(ξ2) = 0.
罗尔中值定理,必存在 η ∈(ξ1,ξ2), F '(η) = f '(η) - 1 = 0
=> f '(η) = 1 这与 f(x)的导数不为1 矛盾,假设错误。
因此在(0,1)内有唯一点,使得 f(ξ) = ξ.
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第1个回答  2011-10-22
构造F(x)=f(x)-x
则由F(0)>0
F(1)<0
又因为F(x)连续,所以由介值定理:
则存在一点ξ,使得F(ξ)=0
即f(ξ)=ξ追问

但要有且仅有一个点啊,貌似要证单调性,可是我不会啊

追答

嗯,刚刚没看到仅有一个。
反设存在一个以上,那么至少有两个:ξ,η,而F(ξ)=F(η)=0
那么由F(x)在[0,1]上可导,可以知道存在一点s属于(ξ,η),F '(s)=0
而F ‘ (x)=f ’(x) -1,又f ‘(x) =/= 1
所以F’(x) =/=0,矛盾。
故F至多一个零点,综合上面可以知道有且仅有一个零点。

第2个回答  2011-10-22
设F(x)=f(x)-x
然后用零点定理追问

要有且仅有一个啊

追答

在对F(x)求导就可以了,在闭区间可导,导函数必连续,且不为零,所以单增单减,

陈金正确

第3个回答  2011-10-22
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