设A为n阶非零实方阵,A*是A的伴随矩阵,AT是A的转置矩阵,当A*=AT时,证明|A|≠0 后面的一部分解答没看懂

证明: 由已知A*=A^T
所以有 AA^T = AA* = |A|E.
再由A为n阶非零实方阵, 可设aij≠0.
考虑 AA^T = |A|E 第i行第i列的元素,得
|A| = ai1^2+...+aij^2+...+ain^2 > 0
(因为 ai1,...,aij,...,ain 都是实数,且aij≠0)
所以 |A|≠0.
考虑 AA^T = |A|E 第i行第i列的元素,得|A| = ai1^2+...+aij^2+...+ain^2 > 0,这是怎么过来的?

你好~
|A|E=AA^T,那么|A|E的第i行第i列的元素就是A的第i行元素与A^T的第i列的元素逐个相乘之和,
【逐个相乘就是A的第i行第1列的元素与A^T的第i列第1行的元素相乘,A的第i行第2列的元素与A^T的第i列第2行的元素相乘,...,A的第i行第j列的元素与A^T的第i列第j行的元素相乘,...,A的第i行第n列的元素与A^T的第i列第n行的元素相乘,
而A^T的第i列第j行的元素就是A的第i行第j列的元素,
然后求和就是AA^T的第i行第i列元素,也就是|A|E第i行第i列的元素】
也就是|A|E中第i行第i列的|A|=ai1^2+...+aij^2+...+ain^2
由于已经设aij≠0,所以|A|>0

有不明白的可以追问,谢谢!
温馨提示:内容为网友见解,仅供参考
第1个回答  2011-11-07
这种题说半天i,j的,是很容易混乱。举个实际的例子就好了
A是4阶方阵,A23不为0(具体点,不妨假设A23=2好了),其它都是0。
A=
0 0 0 0
0 0 2 0
0 0 0 0
0 0 0 0

那AT=
0 0 0 0
0 0 0 0
0 2 0 0
0 0 0 0

考察AAT的第二行第二列的元素,就是A的第二行乘以了AT的第二列。
=0*0+0*0+2*2+0*0
=4
>0

而AAT又必定是单位阵E的整数倍,所以AAT的的所有对角线元素都应该是4,而且非对角线元素就是0
那必定有|A|不为0,(此处就是|A|=4)
第2个回答  2011-11-07
证明: 由已知A*=A^T
所以有 AA^T = AA* = |A|E.
再由A为n阶非零实方阵, 可设aij≠0.
考虑 AA^T = |A|E 第i行第i列的元素,得
|A| = ai1^2 ... aij^2 ... ain^2

...A*是A的伴随矩阵,AT是A的转置矩阵,当A*=AT时,证明|A|≠0 后面...
|A|E=AA^T,那么|A|E的第i行第i列的元素就是A的第i行元素与A^T的第i列的元素逐个相乘之和,【逐个相乘就是A的第i行第1列的元素与A^T的第i列第1行的元素相乘,A的第i行第2列的元素与A^T的第i列第2行的元素相乘,...,A的第i行第j列的元素与A^T的第i列第j行的元素相乘,....

设A为n阶非零实方阵,A*是A的伴随矩阵,AT是A的转置矩阵,当A*=AT时...
所以有 AA^T = AA* = |A|E.再由A为n阶非零实方阵, 可设aij≠0.考虑 AA^T = |A|E 第i行第i列的元素,得 |A| = ai1^2+...+aij^2+...+ain^2 > 0 (因为 ai1,...,aij,...,ain 都是实数,且aij≠0)所以 |A|≠0.满意请采纳^_^ ...

1、 设A为n阶非零矩阵,A*为A的伴随矩阵,且A*=AT,证明:|A|≠0.
0, 当r(A)=n时 此处,A*=AT,所以r(A*)=r(AT)=r(A)显然是公式中的第一种情况,故A满秩,|A|≠0

设A为n阶非零实矩阵,A*=AT,其中A*为A的伴随矩阵。证明:A可逆
A为非零矩阵 所以A的秩>0 假设A不可逆 则A的秩<n (1) A的秩 r(A)=n-1,|A|=0 |A|E=0 利用r(AB)>=r(A)+r(B)-n可知 0=r(|A|E)=r(A*A)>=r(A*)+r(A)-n =r(A*)-1 从而r(A*)<=1 注意到r(A)=n-1 所以A至少存在一个n-1级子式不为0 从而A*...

A是n阶非零实矩阵,且A*=AT.证明:A是可逆矩阵。
A*=AT AA*=AAT 而AA*=|A|E AAT=|A|E 然后用反证法,假设A不可逆,即|A|=0 则AAT=0E=O 根据一个矩阵乘以其转置矩阵为零矩阵时,这个矩阵必为零矩阵。于是A=O,这与题设矛盾,所以假设不成立 所以A是可逆阵

几题大学线性代数的计算,证明题
2.设A为n阶非零方阵,A*是A的伴随矩阵,若A*=AT,证明行列式A不等于零。由已知:A*=A^T 可得:aij=Aij 则|A|=某行元素的平方和 由A为n阶非零方阵,必有某行元素不全为零,所以|A|≠0 3、AA*=|A|E如果R(A)=n,则A可逆,于是A*也可逆。如果R(A)=n-1,则|A|=0,AA*=...

设A为n阶非零实矩阵,且A*=AT,证明|A|不为0,我证到的感觉没地方错啊
楼主证的没错,应该继续做下去,得出|A|=0或|A|=1,当|A|=0时,因为AA*=|A|I=0,而A*=A^T,所以AA^T=0,可得A=0(n阶实矩阵与它的转置相乘为0矩阵,可知该矩阵为0矩阵,这个结论楼主可设出该矩阵的一行乘一下,很容易证明),与已知A为n阶非零实矩阵矛盾,所以|A|=1 ...

设A是n阶非零实矩阵,且A*=AT,证明:A是可逆矩阵
AA^*=|A|E说明AA^*的第一行第一列元素等于|A|E的第一行第一列的元素,而|A|E的第一行第一列的元素为|A|,而AA^*的第一行第一列的元为a11^2+a12^2+...+a1n^2,其他可类似得出,所以|A| = ai1^2+ai2^2+...+ain^2,i=1,2,……n ...

设A 为n阶非零实矩阵, A*=AT,证明A可逆。
证: 由A*=A^T 得 AA^T = AA* = |A|E.又A为非零实矩阵, 不妨设A的第一行不全为0,考虑A的第一行分别乘A^T的第一列之和,则有 |A| = a11^2+a12^2+...+a1n^2 ≠ 0 所以 A 可逆.

...证明线性方程组ATAx=ATb有解。 其中AT表示A的转置
如果S的恰好前r个对角元非零(以下总按这个假设),并且要求x的r+1,r+2,...,n的分量为0的话解还是唯一的。至于几何意义,U的前r列构成A的列张成的空间span{A}的一组标准正交基,U^Tb相当于求出了b在span{A}上的正投影在U下的坐标,所以事实上就是把方程Ax=b正投影到span{A}上在求解...

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