第一章.从等差数列开始
在普通的一天，我们注意到 [公式] ，也许我们可能看到首项加尾项乘项数再除以2.我们现在把这个括号打开，写成一般的多项式得到
[公式]
也许这没有什么，毕竟高中课本已经告诉我们等差数列求和可以写成 [公式] 的形式.但我们结合之前的平方求和公式得到
[公式]
也许这也没什么，我们好奇心迸发了！我们想求三次方的求和，这怎么办呢?
我们注意到，等差数列的求和类似一个二次函数(但是 [公式] 似乎不愿意取非整数),平方数列的求和变成了一个三次函数！那....是否也可以说明...三次方的求和是不是可以表示成一个四次函数呢？于是我们就有事做了！不妨假设
[公式]
现在我们的目标就变成了求出这些系数。当然，我们可以用 [公式] 来获取一些灵感，也就是说作差就是下面这玩意儿
[公式]
接下来就变成了展开这一坨式子，似乎还是挺复杂的，我们可以参考杨辉三角形来辅助运算(不许跑
1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2 1^3+2^3+3^3......+10^3=(55)^2=3025 1^3+2^3+3^3......+20^3=(210 )^2=44100 1^3+2^3=3^2=9 1^3+2^3+3^3=6^2=36 1^3+2^3+3^3+4^3=10^2=100 (1+2)^2=(3)^2=9 (1+2+3)^2=(6)^2=36 (1+2+3+4)^2=(10)^2=100
1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
证明：
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
证明：
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
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......
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