已知一个圆和圆外一点，作一线段过圆，使线段分成两等份，尺规作图，怎麼画？

如题所述

依题意可知点B应在一定范围内才能有解，如图所示，

设圆A（小圆）的半径为r，AB=3r，

则点B应在半径为r和半径为3r的两个圆之间的圆环范围内才能有解，

即当r<AB≤3r才能有解，而当点B在半径为3r的圆上时，

易知直接连接BA交圆A于点M，延长BA交圆A于另一点N，则BN即为所求的线段。

当r<AB<3r时作图步骤如下：

（绿色为已知线，红色为当前作图痕迹，蓝色为历史作图痕迹）

第一步：

连接AB，分别以点A、B为圆心，大于AB/2长为半径作圆弧，

两圆弧交于点C、D，连接CD，CD交AB于点E，

以点E为圆心，AE（或BE）为半径作圆，交圆A于点F、G。

第二步（以点F为例）：

分别以点B、F为圆心，大于BF/2长为半径作圆弧，

两圆弧交于点H、I，连接HI，HI交BF于点J，

以点J为圆心，BJ（或FJ）为半径作圆，交HI于点K（取靠近点A的交点，另一个忽略）。

第三步：

以点B圆心，BK为半径作圆，交圆A于点M，

连接BM并延长至圆A上于另一点N，则BN即为所求的线段。

第四步：

将第一步中的点G以同样的方式作图，

即可作出两条（也是所有的）符合题意的线段BN1、BN2。

证明：

如上图所示，第一步（红色线条）作出的BF是圆A的切线（BG也是），

因为由切割线定理可知BF²=BM×BN，而BN=2BM，

则BF²=2BM²，化简得BF=(√2)BM，

所以在第二步（蓝色线条）作出等腰直角三角形BFK，则有BF=(√2)BK，

第三步（绿色线条）中令BK=BM即有BF=(√2)BM，

所以有BN=2BM，即点M将线段BN等分为两段。