求根号(1+x²)/根号(1-x²)的不定积分，我想看下详细过程，感谢

如题所述

解：本题利用了泰勒级数进行求解。

设x=tant =>dx=d(tant)=sec²tdt 

∴ ∫(1/√(1+x^2))dx

=∫(1/sect)sec²tdt 

=∫sectdt =∫cost/(cost)^2 dt 

＝∫1/(cost)^2 dsint 

＝∫1/(1-(sint)^2) dsint 

令sint = θ，

则可以化为∫1/(1-θ^2)dθ=(ln|1+x|-ln|1-x|)/2+C 

进一步化简为ln(√((1+θ)/(1-θ)))+C =ln|sect＋tant|＋C

然后进行计算lnl√(1+tan^2t)+tantl+c =lnl√(1+x^2)+xl+c

扩展资料：

泰勒积分的作用有以下几点：

1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。

2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开区域上的泰勒级数通过解析延拓得到的函数，并使得复分析这种手法可行。

3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值。

对于一些无穷可微函数f(x) 虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f(x)。当 x ≠ 0 且 f(0) = 0 ，则当x = 0所有的导数都为零，所以这个f(x)的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，虽然这个函数 f 仅在 x = 0 处为零。而这个问题在复变函数内并不成立。

参考资料来源：百度百科-泰勒级数