韦达定理 - 定理内容
韦达定理
韦达定理(Weda's Theorem): 一元二次方程ax^2+bx+c (a不为0)中
设两个根为x和y
则x+y=-b/a
xy=c/a
内容分析
1.一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac
当△>0时,方程有两个不相等的实数根;
当△=0时,方程有两个相等的实数根,
当△<0时,方程没有实数根.
2.一元二次方程的根与系数的关系
(1)如果一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,那么,x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a
(2)如果方程x^2+px+q=0的两个根是x1,x2,那么x1+x2=-P,
x1x2=q
(3)以x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是
x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
3.二次三项式的因式分解(公式法)
在分解二次三项式ax^2+bx+c的因式时,如果可用公式求出方程ax^2+bx+c=0的两个根是X1,x2,那么ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).
实例:已知x^2-2x-3=0的两根x1,x2,求x1平方+x2平方
解法一:求得方程2根为-1和3,所以 x1平方+x2平方=10
解法二:不解方程直接用韦达定理,x1平方+x2平方=(x1+x2)^2-2x1*x2=4+6=10
如果方程不容易解的话,韦达定理的优势就体现出来了.
编辑本段 回目录 韦达定理 - 定理证明设x_1,x_2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解,且不妨令x_1 \ge x_2。根据求根公式,有
x_1=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}},x_2=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}
所以
x_1+x_2=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac} + \left (-b \right) - \sqrt {b^2-4ac}} =-\frac,
x_1x_2=\frac{ \left (-b + \sqrt {b^2-4ac} \right) \left (-b - \sqrt {b^2-4ac} \right)}{\left (2a \right)^2} =\frac
编辑本段 回目录 韦达定理 - 定理推广
韦达定理
韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的,对一个n次方程∑AiX^i=0
它的根记作X1,X2…,Xn
我们有
∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
…
ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和,Π是求积。
如果一元二次方程
在复数集中的根是,那么
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的,韦达的16世纪就得出这个定理,证明这个定理要依靠代数基本定理,而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
由代数基本定理可推得:任何一元 n 次方程
在复数集中必有根。因此,该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积:
其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。
韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
编辑本段 回目录 韦达定理 - 定理应用韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理,中考(竞赛)试题涉及此定理的题目屡见不鲜,且条件隐蔽,在证(解)题时,学生往往因未看出题目中所隐含的韦达定理的条件而导致思路闭塞,或解法呆板,过程繁琐冗长,下面举例谈谈韦达定理在解题中的应用。
一、直接应用韦达定理
若已知条件或待证结论中含有a+b和a·b形式的式子,可考虑直接应用韦达定理.
例1在△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,D是AB边上一点,且BC=DC,设AD=d.
求证:
(1)c+d=2bcosA;
(2)c·d=b2-a2.
分析:观察所要证明的结论,自然可联想到韦达定理,从而构造一元二次方程进行证明.
证明:如图,在△ABC和△ADC中,由余弦定理,有
a2=b2+c2-2bccosA;
a2=b2+d2-2bdcosA(CD=BC=a).
∴c2-2bccosA+b2-a2=0,
d2-2bdcosA+b2-a2=0.
于是,c、d是方程x2-2bxcosA+b2-a2=0的两个根.
由韦达定理,有
c+d=2bcosA,c·d=b2-a2.
例2已知a+a2-1=0,b+b2-1=0,a≠b,求ab+a+b的值.
分析:显然已知二式具有共同的形式:x2+x-1=0.于是a和b可视为该一元二次方程的两个根.再观察待求式的结构,容易想到直接应用韦达定理求解.
解:由已知可构造一个一元二次方程x2+x-1=0,其二根为a、b.
由韦达定理,得a+b=-1,a·b=-1.
故ab+a+b=-2.
二、先恒等变形,再应用韦达定理
若已知条件或待证结论,经过恒等变形或换元等方法,构造出形如a+b、a·b形式的式子,则可考虑应用韦达定理.
例3若实数x、y、z满足x=6-y,z2=xy-9.求证:x=y.
证明:将已知二式变形为x+y=6,xy=z2+9.
由韦达定理知x、y是方程u2-6u+(z2+9)=0的两个根.
∵x、y是实数,∴△=36-4z2-36≥0.
则z2≤0,又∵z为实数,
∴z2=0,即△=0.
于是,方程u2-6u+(z2+9)=0有等根,故x=y.
由已知二式,易知x、y是t2+3t-8=0的两个根,由韦达定理
三、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系),可考虑用韦达定理
例5已知方程x2+px+q=0的二根之比为1∶2,方程的判别式的值为1.求p与q之值,解此方程.
解:设x2+px+q=0的两根为a、2a,则由韦达定理,有
a+2a=-P,①
a·2a=q,②
P2-4q=1.③
把①、②代入③,得(-3a)2-4×2a2=1,即9a2-8a2=1,于是a=±1.
∴方程为x2-3x+2=0或x2+3x+2=0.
解得x1=1,x2=2,或x1=-1,x2=-2.
例6设方程x2+px+q=0的两根之差等于方程x2+qx+p=0的两根之差,求证:p=q或p+q=-4.
证明:设方程x2+px+q=0的两根为α、β,x2+qx+P=0的两根为α'、β'.
由题意知α-β=α'-β',
故有α2-2αβ+β2=α'2-2α'β'+β'2.
从而有(α+β)2-4αβ=(α'+β')2-4α'β'.①
把②代入①,有p2-4q=q2-4p,即p2-q2+4p-4q=0,即(p+q)(p-q)+4(p-q)=0,即(p-q)(p+q+4)=0.
故p-q=0或p+q+4=0,
即p=q或p+q=-4.
四、关于两个一元二次方程有公共根的题目,可考虑用韦达定理
例7m为问值时,方程x2+mx-3=0与方程x2-4x-(m-1)=0有一个公共根?并求出这个公共根.
解:设公共根为α,易知,原方程x2+mx-3=0的两根为α、-m-α;x2-4x-(m-1)=0的两根为α、4-α.
由韦达定理,得α(m+α)=3,①
α(4-α)=-(m-1).②
由②得m=1-4α+α2,③
把③代入①得α3-3α2+α-3=0,
即(α-3)(α2+1)=0.
∵α2+1>0,∴α-3=0即α=3.
把α=3代入③,得m=-2.
故当m=-2时,两个已知方程有一个公共根,这个公共根为3.
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