求下列一微积分方程的通解dy/dx+xy-x^3y^3=0

如题所述

y= +- (1+x^2 + C e^(x^2) )^(-1/2)。

切入点是除dy/dx,其它项都是x,y的奇次幂，所以可如下变形

(y dy)/(x dx) +y^2-x^2 y^4 = dy^2/dx^2 +y^2-x^2 y^4=0

记 v=y^2, u=x^2 则为

dv/du+v-u v^2=0 <=> dv/(v^2 du) +1/v -u =0 <=> -dw/du +w-u=0 (w=1/v)

这个微分方程就可以求解了，易得

d(w-u-1)/(w-u-1) =du => ln(w-u-1)=x+C => w=1+u+C e^x

最后整理可得

y= +- (1+x^2 + C e^(x^2) )^(-1/2)。

积分学早期史

公元前7世纪，古希腊科学家、哲学家泰勒斯就对球的面积、体积、与长度等问题的研究就含有微积分思想。公元前3世纪，古希腊的数学家。

力学家阿基米德（公元前287~前212）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有积分学的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线所得的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。